拓展思维第 2节 新定义问题 考向一 小题篇 题型一 切线法与“牛顿数列” 1.切线法：用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出方程实根的近似值.这种方法叫做“切线法”.由 图可得，在点( 0, ( 0))处做切线 ( 0) = '( 0)( 0)，令 =0，就得到切线与 x轴交点的横坐标为 1 = ( 0)0 ′ ，显然 1比 0更接近方程的根 r. 同理可得：在点( 1, ( 1))处做切线,可得根的近似值 2；由此递 ( 0) ( ) 推，在点( , ( ))处作切线，得根的近似值 +1 = ′( ) 2.牛顿数列：若数列{x } ( )n 的通项关系满足 +1 = ′( ) 则称数列{ }为函数 ( )的牛顿数列 【例 1】（多选）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点．如图，在横坐标为 x1的点处作 f （x）的切线，切线与 x轴交点的横坐标为 x2；用 x2代替 x1重复上面的过程得到 x3；一直下去，得到数列{xn}， 叫作牛顿数列．若函数 f（x）＝x2﹣x﹣6， = +2 3 且 a1＝1，xn＞3，数列{an}的前 n项和为 Sn，则下 列说法正确的是（ ） A = ( ． ) +1 ′( ) B．数列{an}是递减数列 C．数列{an}是等比数列 D． 2023 = 22023 1 【例 2】（多选）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点．已知二次函数 f（x）有两个不相 等的实根 b，c，其中 c＞b．在函数 f（x）图象上横坐标为 x1的点处作曲线 y＝f（x）的切线，切线与 x轴 交点的横坐标为 x2；用 x2代替 x1，重复以上的过程得到 x3；一直下去，得到数列{x } ．记 = n ，且 a1＝1，xn＞c，下列说法正确的是（ ） A = ． 1 1（其中 lne＝1） B．数列{an}是递减数列 C 1 1． 1 6 = 32 D．数列{ + }的前 n项和 = 2 2 + 1 【训练 1】给定函数 f（x），若数列{xn}满足 +1 = ( ) ，则称数列{xn}为函数 f（x）的牛顿数列．已 ′( ) 知数列{xn}为函数 f（x ）＝x2﹣x﹣2的牛顿数列， = ( 2 +1 )，且 a1＝1，xn＞2（n∈N+），数列{an}的前 n项和为 Sn．则 S2024＝（ ） A．22024﹣1 B．22023﹣1 C．( 1 )20242 1 D．( 1 )20232 1 【训练 2】（多选）牛顿选代法是求函数零点近似值的一种方法，它的原理是利用曲线一系列切线与 x轴交 点的横坐标来通近函数的零点．已知 f（x）＝x2﹣x﹣1，设α，β为 f（x）的两个零点（α＜β），令 a1＝﹣1， 在点（a1，f（a1））处作函数 f（x）的切线，设切线与 x轴的交点为 a2，继续在点（a2，f（a2））处作 f（x） 的切线，切线与 x轴的交点为 a3，…如此重复，得到一系列切线，它们与 x轴的交点的横坐标形成数列{an}， 易得 an＜0（n∈N*）．设 bn＝ln （n∈N*），{bn}的前 n项和为 Tn，则下列说法中，正确的是（ ） A = 3． 2 5 B．an＜α C．{an}是单调递增数列 D．T4＝15b1 题型二 取整数列 【例 1】在数列 an 中，a1 2，a2 4，且 an 2 2an 1 an 2 0． x a 表示不超过 x的最大整数，若b nn n2 ， 数列 bn 的前 n项和为Tn，则T2023 ( ) A．2 B．3 C．2022 D．2023 【训练 1】符号 x 表示不超过实数 x的最大整数，如 2.3 2， 1.9 2 .已知数列 an 满足 a1 1，a2 5， 8100 an 2 4an 5an 1.若bn log2an 1 ， Sn为数列 的前 n项和，则 Sb b 2025 ( ) n n 1 A．2023 B． 2024 C． 2025 D． 2026 题型三 非典型新定义命题 【例 1】已知数列 a 满足：对任意的 n N ，总存在m N n ，使得 Sn am，则称 an 为“回旋数列”．以下 结论中正确的个数是( ) ①若 an 2023n，则 an 为“回旋数列”； ②设 an 为等比数列，且公比 q为有理数，则 an 为“回旋数列”； ③设 an 为等差数列，当 a1 1， d 0时，若 an 为“回旋数列”，则 d 1； ④若 a 为“回旋数列”，则对任意 n N ，总存在m N n ，使得 an Sm． A．1 B．2 C．3 D．4 【例 2】(多选)若数列 an 满足：对 i, j N*，若 i j，则 ai a j ，称数列 an 为“鲤鱼跃龙门 ... ...
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