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课件网) 第5章 平行四边形 5.3 三角形的中位线 三角形中位线的性质 三角形中位线在四边形中的应用 平行四边形的判定 边 角 对角线 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 回顾与思考 探究思考 请同学们按要求画图： 画任意△ABC中，画AB、AC边中点D、E，连接DE． 定义：像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 知识点 三角形中位线的性质 1 D E 特别提醒 1. 一个三角形有三条中位线. 2. 三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形，三个面积相等的平行四边形. 3.三角形的中位线与三角形的中线的区别：三角形的中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形的中位线则是连接两边中点的线段. 4.三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分. 在△ABC中，中位线DE和边BC什么关系 DE和边BC关系 数量关系： 位置关系： A B C D E DE//BC DE＝ BC 观察猜想 例1 已知：如图(1)，DE是△ABC的中位线. 求证：DE∥BC，DE＝ BC. 如图(2)，延长DE到F，使FE＝DE，连接CF. 在△ADE和△CFE中， ∵AE＝CE，∠1＝∠2，DE＝FE, ∴△ADE≌△CFE. ∴∠A＝∠ECF，AD＝CF. 证明： ∴CF∥AB. ∵BD＝AD， ∴CF＝BD. ∴四边形DBCF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). ∴ DF∥BC(平行四边形的定义)， DF＝BC(平行四边形的对边相等). ∴DE∥BC，DE＝ BC. 归纳 利用三角形中位线定理可以证明小明分割的四个小三角形全等. 例2 如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF. 求证：AB＝2OF. 导引： 点O是平行四边形两条对角线的交点，所以点O是线段AC的中点，要证明AB＝2OF，我们只需证明点F是线段BC的中点，即证明OF 是△ABC的中位线． 证明： ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD. ∵E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点， 且CE＝DC， ∴AB∥CE，AB＝CE. ∴四边形ABEC是平行四边形． ∴点F是BC的中点． 又∵点O是AC的中点， ∴OF是△ABC的中位线． ∴AB＝2OF. 归纳 证明线段倍分关系的方法： 由于三角形的中位线等于三角形第三边的一半，因此当需要证明某一线段是另一线段的一半或两倍，且题中出现中点时，常考虑三角形中位线定理． 1. 已知三角形的各边长分别为8 cm，10 cm和12 cm， 求以各边中点为顶点的三角形的周长. 解： 以各边中点为顶点的三角形的周长为 (8＋10＋12)＝15(cm)． 2. 如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下面的方法估测出了A，B间的距离：先在AB外选一点C，然后步测出AC，BC的中点M，N，并步测出MN的长，由此他就知道了A，B间的距离. 你能说说其中的道理吗？ 解： 由题意可知，MN是△ABC的中位线， 所以AB＝2MN. 所以测出MN的长，就可知道A，B间的距离． A 3. 如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED. 现测得AC＝30 m，BC＝40 m，DE＝24 m，则AB＝( ) A．50 m B．48 m C．45 m D．35 m B 4. 如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是( ) A．5 B．7 C．9 D．11 B 5. 如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是( ) A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 A 6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD＝∠CAB＝45°，则下列结论不正确的是( ) A．∠ECD＝112.5° B．DE平分∠FDC C．∠DEC＝30° D．AB＝ CD C 议一议 如图，任意画一个四边形，以 四边的 ... ...
