1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算 A级 必备知识基础练 1.[探究点一]给出下列命题: ①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点,则它们的终点构成一个圆;②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;③若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p;④空间中任意两个单位向量必相等;⑤零向量没有方向.其中假命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.[探究点一][2024天津北辰校级期末]下列命题: ①若|a|=|b|,则a=b; ②若a=b,b=c,则a=c; ③a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b; ④若A,B,C,D是不共线的四点,则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件. 其中,真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.[探究点二]如图,在长方体ABCD -A1B1C1D1中,=( ) A. B. C. D. 4.[探究点二][2024湖南湘潭高二校联考期末]已知在空间四边形ABCD中,,则+2=( ) A.2 B.2 C.2 D. 5.[探究点二]如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M为A1C1的中点,若=a,=b,=c,则可表示为( ) A.-a+b+c B.a+b+c C.-a-b+c D.a-b+c 6.[探究点三][2024江苏镇江高二校考阶段练习]设a,b是空间中两个不共线的向量,已知=9a+mb,=-2a-b,=a-2b,且A,B,D三点共线,则实数m= . 7.[探究点四]已知A,B,C三点不共线,O为平面ABC外一点,若向量+λ,且点P与A,B,C共面,则实数λ= . 8.[探究点四]如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上,且BE=BB1,DF=DD1.证明A,E,C1,F四点共面. B级 关键能力提升练 9.[2024江苏淮安涟水校级月考]已知四面体OABC,空间的一点M满足+λ,若点M,A,B,C共面,则λ=( ) A. B. C. D. 10.已知空间向量a,b,c,给出下列命题: ①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行; ②若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b一定不共面; ③若存在不全为0的实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则向量a,b,c共面. 其中,真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,P,M为空间任意两点,如果有+7+6-4,那么点M必( ) A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内 C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内 12.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作,其中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥”.如图,在“阳马”A-OBCD中,E为△ACD的重心,若=a,=b,=c,则=( ) A.-a+b+c B.-a+b+c C.a+b+c D.-a+b-c 13.已知O为空间中一点,A,B,C,D四点共面且任意三点不共线,若2=x,则x的值为 . 14.如图,四边形ABCD和四边形ABEF都是平行四边形且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,向量是否共线 15.在长方体ABCD -A1B1C1D1中,M为DD1的中点,点N在AC上,且AN∶NC=2∶1,求证: 共面. 16.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E在A1D1上,且=2,F在体对角线A1C上,且.若=a,=b,=c. (1)用a,b,c表示; (2)求证:E,F,B三点共线. C级 学科素养创新练 17.如图,已知M为四面体ABCD的面BCD的重心,连接BM并延长交CD于点E,G为AM的中点,N在AE上,且=λ,且B,G,N三点共线.试求λ的值. (提示:若a,b,c不共面,且x1a+y1b+z1c=x2a+y2b+z2c,则x1=x2,y1=y2,z1=z2) 答案： 1.D ①假命题.若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点,则它们的终点将构成一个球面,而不是一个圆. ②假命题.根据向量相等的定义,要保证两向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但②中向量a与b的方向不一定相同. ③真命题.向量的相等具有传递性. ④假命题.空间中任意两个单位向量的模均为1,但空间中任意两个单位向量的方向不一定相同,所以不一定相等. ⑤假命题.零向量的方向是任意的. 2.B 对于①,因为|a|=|b|,但向量a,b的方向不确定,则向量a,b不一定相等,故①错误; 对于②,若a=b,b=c,则a=c,故②正确; 对于③,由|a|=|b|且a∥b,得a=b或a=-b,所以“|a|=|b|且a∥b”是“a=b”的必要不充分条件,故③错误; 对于④,若A,B,C,D是不 ... ...
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