上海市徐汇中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

徐汇中学2023学年第二学期高一年级数学期末 2024.06 一 填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分） 1.已知，且，则点在第_____象限. 2.在正方形中，向量与向量的夹角是_____（用弧度制表示）. 3.若为锐角，，则_____. 4.已知复数，且复数满足，则在复平面内对应的点位于第_____象限. 5.已知，若，则_____. 6.已知数列是等比数列，且，则_____. 7.已知向量和，则在方向上的投影是_____. 8.函数的部分图像如图所示，则_____. 9.若复数满足，且（为虚数单位），则的最小值为_____. 10.已知数列满足：（为正整数，若，则所有可能的取值集合为_____. 11.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形的边长为10，点在其边上运动，则的取值范围是_____. 12.定义：若，则称是函数的倍伸缩周期函数.设，且是的2倍伸缩周期函数.若对于任意的，都有，则实数的最大值为_____. 二 选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分） 13.“”是“复数是纯虚数”的（ ）条件. A.必要不充分 B.充分不必要 B.充要 D.既不充分又不必要 14.已知三角形的三条边长分别为，若，则此三角形是（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能 15.函数的周期是，图象关于直线对称，则以下正确的是（ ） A.的最大值是 B.在区间上是减函数 C.的图象过点 D.的图象的一个对称中心是 16.已知是等比数列，公比为，若存在无穷多个不同的满足，则下列选项之中，不可能成立的为（ ） A. B. C. D. 三 解答题（本大题共有5题，满分48分） 17.（本题8分）已知是关于的方程的一个虚根. （1）求的值； （2）记复，求复数的模. 18.（本题8分）已知向量. （1）求函数的最大值及相应的值； （2）在中，角为锐角，且，求边的长. 19.（本题10分）在各项均为正数的等比数列中，，且成等差数列. （1）求等比数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和的最大值. 20.（本题10分）如图所示，是边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是半径为90米的扇形草地，是弧上一点，其余部分都是空地，现开发商想在空地上建造一个有两边分别落在和上的长方形停车场. （1）设，长方形的面积为，试建立关于的函数关系式； （2）当为多少时，最大，并求最大值. 21.（本题12分）平面直角坐标系中，设点是线段的等分点，其中. （1）当时，试用表示； （2）当时，求的值； （3）当时，求的最小值. 四 附加题（本大题共有2题，满分10分，不计入总分） 1.对于项数为10的数列，若满足（其中为正整数，），且，设，则的最大值为_____. 2.对于实数，用表示不超过的最大整数，例如. 已知，则下列3个命题中真命题的个数为_____. （1）函数是周期函数； （2）函数的图像关于直线对称； （3）方程有2个实数根. 参考答案 一 填空题 1.二 2. 3. 4.二 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 11.【答案】 【解析】分别过作的垂线，垂足为，且 因为点在正八边形上运动，所以在上的投影向量的起点为，终点在相等 上移动，则当在上运动时，取得最大值，为 当在上运动时，取得最小值，为 所以的取值范围是. 故答案为：. 12.【答案】 【解析】由题意，可知，当；当； 以此类推，当；当， 当，令，得，或（舍），， 所以的最大值为. 二 选择题 13.A 14.B 15.D 16.C 15.【答案】D 【解析】函数的周期是，则； 又的图象关于直线对称，则； 所以，又，所以； 所以； 对于A时，的最大值是故错误. 对于B，的单调性与有关系，故错误； 对于C，时，，图象过点，故错误； 对于D，时，图象的一个对称中心是，故正确； 故答案为：D. 16.【答案】C 【解析】是等比数列，公比为，存在无穷多个不同的满足， 当时，则：当时，则为非零常数列，符 ... ...