1.2.2 空间中的平面与空间向量（PDF含解析） 2023-2024学年高二数学同步讲义（人教B版2019选择性必修第一册）

1.2.2 空间中的平面与空间向量 分层练习 一、单选题 r 1．（2022 秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知 n = (2,a + b,a - b)是直线 l 的方向向量， ur m = (1, 2,3)是平面a 的法向量.若 l ^ a ，则实数 a，b 的值是（ ） A．a=1，b=7 B．a=5，b=1 C．a=-5，b=1 D．a=5，b=-1 【答案】D r ur r ur 【详解】依题意， n / /m，而 n = (2,a + b,a - b)，m = (1, 2,3)， a + b a - b 2 ìa + b = 4 于是 = = ，即 í ，解得 a = 5,b = -1a b 6 ，2 3 1 - = 所以 a = 5,b = -1. 故选：D 2．（2022·高二课时练习）已知平面a 内有两点M 1, -1,2 ， N a,3,3 ，平面a 的一个法向量为 r n = 6, -3,6 ，则a = （ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C uuuur 【详解】解：因为M 1, -1,2 ， N a,3,3 ，所以MN = a -1,4,1 ， r r uuur 因为平面a 的一个法向量为 n = 6, -3,6 ，所以 n ^ MN ， r uuuur 则 n × MN = 6 a -1 - 3 4 + 6 = 0，解得 a = 2， 故选：C. r ur r 3．（2022 春·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐 101 中学校考期末）已知 e为直线 l的方向向量，m ， n是平面a ， b 的法向量（a ，b 是不同平面），那么下列说法正确的个数有（ ） r ur ur r ur r r ur ① e × m = 0 l //a ② m ^ n a ^ b ③ m//n a //b ④ e//m l //a A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B r ur r 【详解】解：因为 e为直线 l的方向向量，m ， n是平面a ，b 的法向量（a ，b 是不同平面）， r ur r ur 若 e × m = 0 ，则 e ^ m，由于不确定直线 l是否在平面a 内，当直线 l不在平面a 内，则 l / /a ，故①错误； ur r 若m ^ n，则a ^ b ，故②正确； ur r 若m//n ，则a //b ，故③正确； r ur r 若 e//m，即 e也是平面a 的法向量，所以 l ^ a ，故④错误； 故选：B 4．（2021 秋·高二课时练习）如图，F 是正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱 CD 的中点．E 是BB1上一点，若 D1F ^ DE ，则有 A．B1E = EB B．B1E = 2EB C．B1E 1 = EB D．E 与 B 重合 2 【答案】A 【详解】由题意，分别以 DA，DC，DD1 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 设正方形的边长为 2，则 D(0，0，0)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)， uuuuv uuuv 设 E(2，2，z)，D1F ＝(0，1，－2)，DE ＝(2，2，z)， uuuuv uuuv QD1F × DE = 0 2 +1 2 - 2z = 0，∴ z =1， ∴ B1E = EB ，故选 A. 二、多选题 5．（2022 秋·广东湛江·高二校考阶段练习）已知点 A 0,0,0 ，B 0,0,1 ，C 1,1,0 在平面a 内，则下列向量 为a 的法向量的是（ ）． nrA． = 1,1,0 nrB． = 1, -1,0 r C． n = -1,1,0 rD． n = -1, -1,0 【答案】BC uuur uuur 【详解】由题得： AB = 0,0,1 ， AC = 1,1,0 ， r 设平面a 的法向量为 n = x, y, z ， uuur ìAB ×n r = z = 0 ìx = -y 则有 íuuur r í AC ×n = x + y = 0 z = 0 ， 故平面a 的一个法向量可以为 1, -1,0 ， -1,1,0 . 故选：BC． 6．（2023 秋·江西宜春·高二统考期末）已知空间中三点 A 0,1,0 , B 2,2,0 ,C -1,3,1 ，则下列结论正确的有 （ ） uuur uuur uuur A． AB ^ AC B．与 AB 共线的单位向量是 1,1,0 uuur uuur C 55． AB 与BC 夹角的余弦值是 D．平面 ABC 的一个法向量是 1,-2,5 11 【答案】AD uuur uuur uuur 【详解】由题意可得 AB = 2,1,0 ， AC = -1,2,1 ，BC = -3,1,1 ， uuur uuur uuur uuur 选项 A： AB × AC = -2 + 2 + 0 = 0，故 AB ^ AC ，正确； uuur 选项 B： 1,1,0 不是单位向量，且 1,1,0 与 AB = 2,1,0 不共线，错误； uuur uuur uuur uuur cos AB, BC uAuBur ×uBuCur -6 +1+ 0 55选项 C： = = = -AB BC 5 11 11 ，错误； ur ur uuur ur uuur 选项 D：设m = 1, -2,5 ，则m × AB = 2 - 2 + 0 = 0，m × AC = -1- 4 + 5 = 0 ... ...