2010高考数学专题复习课件：18数列求和

课件16张PPT。数列求和数列求和的方法将一个数列拆成若干个简单数列, 然后分别求和. 将数列相邻的两项(或若干项)并成一项(或一组)得到一个新数列(容易求和).一、拆项求和二、并项求和例 求和 Sn=1×2+2×3+…+n(n+1).例 求和 Sn=1-2+3-4+5-6+…+(-1)n+1·n.三、裂项求和 将数列的每一项拆(裂开)成两项之差, 使得正负项能相互抵消, 剩下首尾若干项.四、错位求和 将数列的每一项都作相同的变换, 然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减.例 等比数列求和公式的推导. 五、倒序求和 将数列的倒数第 k 项(k=1, 2, 3, …)变为正数第 k 项, 然后将得到的新数列与原数列进行变换(相加、相减等).例 等差数列求和公式的推导.典型例题Sn=(3n+2)·2n-1 (4)Sn=1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n·1; 法1 Sn=1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n·[n-(n-1)] =n(1+2+3+…+n)-[2?1+3?2+…+n(n-1)] =n(1+2+3+…+n)-[12+22+…+(n-1)2]-[1+2+…+(n-1)] 法2 Sn=1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n·1 =1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+n) (5)Sn=3n-1+3n-2·2+3n-3·22+…+2n-1. 课后练习 1.已知数列 {an} 是等差数列, 且 a1=2, a1+a2+a3=12, (1)求数列 {an} 的通项公式; (2)令 bn=an?3n, 求数列 {bn} 前 n 项和的公式.解: (1)设数列 {an} 的公差为 d, 则由已知得 3a1+3d=12, ∴d=2. ∴an=2+(n-1)?2=2n. 故数列 {an} 的通项公式为 an=2n. (2)由 bn=an?3n=2n?3n 得数列 {bn} 前 n 项和 Sn=2?3+4?32+…+(2n-2)?3n-1+2n?3n　　 　 ①　 ∴3Sn=2?32+4?33+…+(2n-2)?3n+2n?3n+1 ② 将 ① 式减 ② 式得: -2Sn=2(3+32+…+3n)-2n?3n+1=3(3n-1)-2n?3n+1. 又 a1=2, 2.将上题 (2) 中“ bn=an?3n ” 改为“ bn=an?xn(x?R)”, 仍求 {bn} 的前 n 项和.解: 令 Sn=b1+b2+…+bn, 则由 bn=an?xn=2nxn 得:Sn=2x+4x2+…+(2n-2)xn-1+2nxn　　 　 ①　 ∴xSn=2x2+4x3+…+(2n-2)xn+2nxn+1 ② 当 x?1 时, 将 ① 式减 ② 式得: 当 x=1 时, Sn=2+4+…+2n=n(n+1); 4.求数列 {n(n+1)(2n+1)} 的前 n 项和 Sn.解: ∵通项 ak=k(k+1)(2k+1)=2k3+3k2+k,∴Sn=2(13+23+…+n3)+3(12+22+…+n2)+(1+2+…+n) 6.已知 lgx+lgy=a, 且 Sn=lgxn +lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+…+lgyn, 求 Sn. 　解: Sn=lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+…+lgyn,又 Sn=lgyn +lg(xyn-1)+…+lg(xn-1y)+lgxn,∴2Sn=lg(xnyn)+lg(xnyn)+…+lg(xnyn)+lg(xnyn)=n(n+1)lg(xy).∵lgx+lgy=a, ∴lg(xy)=a.注: 本题亦可用对数的运算性质求解: ∵Sn=lg[xn+(n-1)+…+3+2+1?y1+2+3+…+(n-1)+n], 8.求数列 1, 2+3, 4+5+6, 7+8+9+10, … 的通项 an 及前 n 项和Sn.解: 设等比数列 {an} 的公比为 q, 依题意得:a1a2a3=512?a23=512?a2=8.∵前三项分别减去 1, 3, 9 后又成等差数列,∴an=a2qn-2=8?2n-2=2n+1. 10.已知数列 {an} 中, a1=1, (2n+1)an=(2n-3)an-1(n≥2, n?N*), 求数列 {an} 的前 n 项和 Sn. 　∴Sn=a1+a2+…+an 解: ∵(2n+1)an=(2n-3)an-1, (2) 归纳概括的结论为: n 为正整数. 证明如下: =a1(1-q)n. =t(1-1)n -tq(1-q)n =-tq(1-q)n, 从而有: =-tq(1-q)n (1)证: 由已知 S1=a1=a, Sn=aqn-1, 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=aqn-1-aqn-2=a(q-1)qn-2. ∴在 {an}中, 从第 2 项开始成等比数列. ∴bn=51-n(n?N*). ∴当 1≤n≤51 时, |b1|+|b2|+…+|bn| =(51-1)+(51-2)+…+(51-n) 当 n≥52 时, |b1|+|b2|+…+|bn|=(50+49+…+1)+[1+2+…+(n-51)] =51n-(1+2+…+n) ... ...