考点 11 指数与指数函数（3 种核心题型+基础保分练+综合提 升练+拓展冲刺练） 【考试提醒】 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特 殊点等性质，并能简单应用． 【知识点】 1．根式 (1)一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1，且 n∈N*. (2)式子n a叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (3)(n a)n＝a. 当 n 为奇数时，n an＝a， ， ， 当 n a a ≥ 0为偶数时，n an＝|a|＝{－a，a < 0. 2．分数指数幂 m 正数的正分数指数幂： a n ＝n am(a>0，m，n∈N*，n>1)． m － 1 1 正数的负分数指数幂： a n ＝ *m ＝ (a>0，m，n∈N ，n>1)．n m a n a 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)． 4．指数函数及其性质 (1)概念：一般地，函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，定义域 是 R. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0
0 时，y>1； 当 x<0 时，y>1； 性质 当 x<0 时，00 时，0d>1>a>b>0，即 在第一象限内，指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象越高，底数越大． 【核心题型】 题型一 指数幂的运算 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注 意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序． (2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． y x 【例题 1】（2024·广东·模拟预测）若 xy 3，则 x + y ． x y 【答案】±2 3 【分析】分 x > 0, y > 0和 x < 0, y < 0两种情况分类计算. x > 0, y > 0 x y y x【详解】当 时， + xy + xy 2 3 ， x y 当 x < 0, y < 0 y x 时， x + y - xy + - xy -2 3 . x y 故答案为：±2 3 1 (x +1)2 + ex - e- x 【变式 1】（2024 x高三下·全国·专题练习）已知函数 f (x) ( ) -2 12(x2 +1) ，则 f (log 6) f (log 12 + 2 ) 6 ． 【答案】6 2x + ex - e- x 【分析】根据函数奇偶性的定义可判断 g(x) 2(x2 +1) 为奇函数，即可得 h(log 6) h(log 1 12 + 2 ) 6 6 ，进而根据指数幂的运算即可求解 . 1 x (x +1)2 + ex - e- x 【详解】Q函数 f (x) ( ) -2 12(x2 +1) ， h(x) (x +1) 2 + ex - e- x 2x + ex - e- x 1 设 +12(x2 +1) 12(x2 +1) 12 ， g(x) 2x + e x - e- x 令 2(x2 +1) ， - x x x g( x) -2x + e - e 2x + e - e - x 则 - - -g(x)2[(-x)2 +1] 2(x2 +1) ， h(x) 1 + h(-x) g(x) + g(-x) + 6 ， 又 - log2 6 log 1 2 ， h(log2 6) + h(log 1 1 6 2 ) 6 6 ， Q(1) log 6 (1 log 1 ) 22 + 6 1 + 6 ， 2 2 6 f (log2 6) 1 + f (log2 ) 66 ． 故答案为：6． ì 2x , x 1, 7 【变式 2 】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x í f f x - 2 , x >1, 则 ÷ ． è 2 2 1 【答案】 / 2 2 2 【分析】直接代入分段函数求函数值即可. 7 3 1- 【详解】由题意得 f ÷ f ÷ f 1 2 2 2 2 2 - 2 ÷ ． è è è 2 2 故答案为： . 2 【变式 3】（2024 高三·全国·专题练习）化简下列各式： 2 é 1 -2.5 ù 3 （1） ê 0.0645 ÷ ú 3 - 3 3 - π0 = êè ú 8 a3b2 3 ab2 4 （2） 1 1 1 1- （ a > 0,b > 0 = a 4b2 ÷ a 3b3 è 1 1 （3 设 - -1x 2 + x 2 3，则 x + x 的值为 a ... ... 