12.3.2 两数和（差）的平方课件(共23张PPT) 2024-2025学年华东师大版数学八年级上册

(课件网) 12.3 乘法公式 1. 两数和（差）的平方 学习目标 1.理解并掌握两数和（差）的平方公式的推导和应用.（重点） 2.理解两数和（差）的平方公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算.（难点） 一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). a a b b 直接求：总面积=(a+b)(a+b) 间接求：总面积=a2+ab+ab+b2 你发现了什么？ (a+b)2=a2+2ab+b2 情境导入 合作探究 用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较. 用多项式乘法法则计算：(a+b)2. (a+b)2=( a + b ) ( a + b ) =a2 +ab +ab +b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 做一做 知识讲解 知识点1 两数和的平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2 这个公式叫做两数和的平方公式. 两数和的平方公式 概括 利用这个公式，可以直接计算两数和的平方. 这就是说，两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍. 观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算： a a b b a a b b a2 ab ab b2 = + + (a+b)2 a2 2ab = + + b2 试一试 b a b a （1）如图，大正方形的边长为 ，面积为： . （a+b）2 （a+b） （2）大正方形的面积也可以表示为两个小正方形面积与两个长方形面积的和，分别表示出它们的面积. a2 b2 ab ab 则大正方形的面积也可以表示为： . a2+2ab+b2 （3）比较（1）和（2）的结果，你能验证这个公式吗？ （a+b）2 a2+2ab+b2 = 想一想 计算： （1）(2x+3y)2 （2）(2a+ )2 =(2x)2+2·2x·3y+(3y)2 =4x2+12xy+9y2 =(2a)2+2·2a· +( )2 =4a2+2ab+ 把2x和3y分别看成a和b 例1 推导两数差的平方公式. (a-b)2 =[a+(-b)]2 =a2+2a·(-b)+(-b)2 =a2-2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍. 试一试 知识点2 两数差的平方公式 观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算： a b a b a2 ab ab b2 = - + (a-b)2 a2 2ab = - + b2 试一试 b a b a 如右图，用不同的方式表示阴影部分的面积. （1）阴影部分正方形的边长为： ， 面积为： . （a – b） （a – b）2 （2）阴影部分正方形面积也可以表示为大正方形的面积减去两个长方形的面积. ab b（a–b） a2 – ab – b（a – b） =a2 – ab – ab +b2 =a2 – 2ab +b2 （3）比较（1）和（2）的结果验证这个公式. （a – b）2 a2 – 2ab +b2 = 想一想 （1）(3x-2y)2 =(3x)2-2·(3x)·(2y)+(2y)2 =9x2-12xy+4y2 例2 解法一 解法三 解法二 1.计算(a – 1)2的结果是 (　　) A.a2 – a + 1 B.a2 – 2a + 1 C.a2 – 2a – 1 D.a2 – 1 随 堂 小 测 B 2.下列计算结果为2ab – a2 – b2的是 ( ) A．(a – b)2 B．( – a – b)2 C． – (a + b)2 D． – (a – b)2 D 3.利用完全平方公式计算： （1） (2x – 3)2； （2）(4x + 5y)2； （3）(mn – a)2. (2x)2 – 2 2x 3 + 32 =4x2 – 12x + 9 解：（1） (2x – 3)2= （2） (4x + 5y)2= (4x)2 + 2 4x 5y + (5y)2 =16x2 + 40xy + 25y2 （3） (mn – a)2= (mn)2 – 2 mn a + a2 =m2n2 – 2amn + a2 4.计算： （1）( x – 2y)2； （2）(2xy + x)2； （3）(n + 1)2 – n2. 2 1 5 1 解：（1） ( x – 2y)2= 2 1 ( x)2 – 2 x 2y + (2y)2 2 1 2 1 = x2 – 2xy + 4y2 4 1 （2） (2xy + x)2= 5 1 (2xy)2 + 2 2xy x + ( x)2 5 1 5 1 =4x2y2 + x2y + x2 5 4 25 1 （3）(n + 1)2 – n2= n2 + 2n + 1 – n2 = 2n + 1 1.下列计算正确的是 (　　) A. (x + y)2=x2 + y2 B. (x – y)2=x2 – 2xy – y2 C. (x + 2y)(x – 2y)=x2 – 2y2 D. ( – x + y)2=x2 – 2xy + y2 D 当 堂 检 测 2.若x2 + 6x + k是完全平方式，则k等于(　　) A．9 B．– 9 C．±9 D．±3 A 3.若代数式x2 + kx + 25是一个 ... ...