1.2.4 二面角——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练（含解析）

1.2.4 二面角 ———高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练 1.已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为( ) A. B. C.或 D. 2.已知向量，分别是平面与的法向量，若，则平面与的夹角为( ) A. B. C. D. 3.如图，在菱形ABCD中，，沿对角线AC折起，使平面平面ACD，则二面角的平面角的余弦值为( ). A. B. C. D.2 4.如图，在长方体中，，P为的中点，则二面角的大小为( ) A. B. C. D. 5.已知和均为边长为a的等边三角形，且，则二面角的大小为( ) A. B. C. D. 6.已知直线l的一个方向向量为v，平面的一个法向量为n，平面的一个法向量为m，则下列说法正确的是( ) ①若，则l与所成的角为； ②若l与所成角为，则； ③若，则平面与所成的锐二面角为； ④若平面与的夹角为，则. A.③ B.①③ C.②④ D.①③④ 7.如图所示，已知P为菱形ABCD所在平面外一点，且平面，，F为PC的中点，则二面角的正切值为( ) A. B. C. D. 8.如图，在正方体中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 9.（多选）在棱长为2的正方体中，下列结论正确的是( ) A.异面直线与所成的角为 B.异面直线与所成的角为 C.直线与平面所成角的正弦值为 D.二面角的大小为 10.（多选）如图，已知E，F分别是正方体的棱BC和CD的中点，则下列说法正确的是( ) A.与是异面直线 B.直线与EF所成角的大小为 C.直线与平面所成角的正弦值为 D.二面角的余弦值为 11.设平面ABC的一个法向量为，平面ABD的一个法向量为，则二面角的大小为_____. 12.四边形ABCD是边长为2的正方形，MA和PB都与平面ABCD垂直，且，则平面PMD与平面ABCD所成角的余弦值为_____. 13.如图，在三棱柱中，，，，，，点D，E分别在棱，上，且，，则二面角的正切值为_____. 14.攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖之分.如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面的夹角为_____. 15.已知四棱锥的底面ABCD为菱形，且，. （1）证明：； （2）若，求二面角的余弦值. 答案以及解析 1.答案：C 解析：由题意可得，所以两平面所成二面角为或.故选C. 2.答案：C 解析：易知，所以平面与所成的夹角为. 3.答案：A 解析：取AC的中点O，以OC，OD，OB所在直线分别为x轴、y轴、z轴建系，则平面ABC的法向量，平面ACD的法向量，所以. 4.答案：B 解析：在长方体中，平面，平面，平面，，且，即为二面角的平面角.又，易得.故选B. 5.答案：C 解析：如图，取BC的中点E，连接AE，DE. 由题意得，，且，是二面角的平面角. 又，，即二面角的大小为. 6.答案：A 解析：若，则l与所成的角为，①错误； 若l与所成角为，则或，②错误； 若，则平面与所成的锐二面角为，③正确； 若平面与所成的角为，则或，④错误. 故选A. 7.答案：D 解析：如图，设BD与AC交于点O，连接OF.四边形ABCD为菱形，为AC的中点，.为PC的中点，.平面ABCD，平面ABCD.以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz. 设，则， ，，，，，结合图形可知，为平面BDF的一个法向量.由，，可求得平面BCF的一个法向量. ，又二面角为锐二面角，，. 8.答案：B 解析：设正方体的棱长为1，以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Bxyz，如图所示， 则，，，. 设平面AMN的法向量为， 由于，，则 即 令，解得，，于是， 同理可求得平面BMN的一个法向量为，所以， 设平面MNA与平面MNB的夹角为，则.故所求两平面夹角的余弦值为.故选B. 9.答案：ACD 解析：解法一：如图所示， 对于A，，与所成的向即为与所成的角，为，故A正确； 对于B，，与所成的角即为与 ... ...