阶段专项提分练四　相似三角形的判定（原卷+答案） 2024-2025学年数学湘教版九年级上册

阶段专项提分练四 相似三角形的判定 平行线型 【典例1】如图,在平行四边形ABCD中,连接对角线AC,延长AB至点E,使BE=AB,连接DE,分别交BC,AC于点F,G. (1)求证:BF=CF; (2)若BC=6,DG=4,求FG的长. 思路点拨 (1)证△EBF∽△EAD,再结合平行四边形性质,得结论. (2)通过证明△ADG∽△CFG,可得=,即可求解. 【变式1】(2023·内江中考)如图,在△ABC中,点D,E为边AB的三等分点,点F,G在边BC上,AC∥DG∥EF,点H为AF与DG的交点.若AC=12,则DH的长为( ) A.1 B. C.2 D.3 【变式2】(2023·无锡中考)如图,平行四边形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,AF与DE相交于点G,则DG∶EG=　 　. 相交型 【典例2】如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,E是AC上一点,AE=5,ED⊥AB于D. (1)求证:△ACB∽△ADE; (2)求AD的长度. 思路点拨 (1)求出∠EDA=∠C=90°,根据相似三角形的判定得出相似即可; (2)根据相似三角形的性质得出比例式,代入求出AD的长度. 【变式】(2024·遵义赤水市期末)如图,在△ABC与△A'B'C'中,点D,D'分别在边BC,B'C'上,且△ACD∽△A'C'D',若 　 　,则△ABD∽△A'B'D'.请从①=; ②=中选择一个作为条件(写序号),并加以证明. 旋转型 【典例3】如图,已知∠BAE=∠CAD,AB=18,AC=48,AE=15,AD=40. 求证:△ABC∽△AED. 思路点拨 通过等量代换找出对应角,再根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明. 【变式】如图,已知∠1=∠2,欲证△ADE∽△ACB,可补充条件( ) A.∠B=∠C B.DE=AB C.∠D=∠E D.∠D=∠C 一线三等角 【典例4】(2023·邵阳中考)如图,CA⊥AD,ED⊥AD,点B是线段AD上的一点,且CB⊥BE.已知AB=8,AC=6,DE=4. (1)证明:△ABC∽△DEB. (2)求线段BD的长. 思路点拨 (1)利用同角的余角相等得∠C=∠DBE,可证明结论; (2)根据相似三角形的性质即可求出答案. 【变式】如图,在等边△ABC中,D为BC边上一点,且∠ADE=60°,BD=3,CE=2,求△ABC的边长. 双垂线型 【典例5】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,BD=4,AD=9,求BC的长. 思路点拨 证明△ACB∽△CDB,根据相似三角形的性质列出比例式,代入已知数据计算,得到答案. 【变式】如图,点P1,P2,P3,P4均在坐标轴上,且P1P2⊥P2P3,P2P3⊥P3P4.若P1,P2的坐标分别为(0,-1),(-2,0),则点P4的坐标为 　. 阶段专项提分练四 相似三角形的判定 平行线型 【典例1】如图,在平行四边形ABCD中,连接对角线AC,延长AB至点E,使BE=AB,连接DE,分别交BC,AC于点F,G. (1)求证:BF=CF; (2)若BC=6,DG=4,求FG的长. 思路点拨 (1)证△EBF∽△EAD,再结合平行四边形性质,得结论. (2)通过证明△ADG∽△CFG,可得=,即可求解. 【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC, ∴△EBF∽△EAD,∴=, ∵BE=AB,∴EA=2EB,∴=, ∴BF=AD=BC,∴BF=CF; (2)见全解全析 【变式1】(2023·内江中考)如图,在△ABC中,点D,E为边AB的三等分点,点F,G在边BC上,AC∥DG∥EF,点H为AF与DG的交点.若AC=12,则DH的长为(C) A.1 B. C.2 D.3 【变式2】(2023·无锡中考)如图,平行四边形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,AF与DE相交于点G,则DG∶EG=　2∶3　. 相交型 【典例2】如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,E是AC上一点,AE=5,ED⊥AB于D. (1)求证:△ACB∽△ADE; (2)求AD的长度. 思路点拨 (1)求出∠EDA=∠C=90°,根据相似三角形的判定得出相似即可; (2)根据相似三角形的性质得出比例式,代入求出AD的长度. 【自主解答】(1)∵DE⊥AB,∠C=90°, ∴∠EDA=∠C=90°,∵∠A=∠A, ∴△ACB∽△ADE; (2)∵△ACB∽△ADE,∴=, ∴=,∴AD=4. 【变式】(2024·遵义赤水市期末)如图,在△ABC与△A'B'C'中,点D,D'分别在边BC,B'C'上,且△ACD∽△A'C'D',若 　①　,则△ABD∽△A'B'D'.请从①=; ②=中选择一个作为条件(写序号),并加以证明. 【解析】若=,则△ABD∽△A'B'D',理由如下:∵△ACD∽△A'C'D', ∴ ... ...