22.2 5.一元二次方程的根与系数的关系 同步练（含答案）2024-2025学年数学华东师大版九年级上册

　一元二次方程的根与系数的关系 【A层 基础夯实】 知识点1　利用根与系数的关系求代数式的值 1.若x1和x2为一元二次方程x2+2x-1=0的两个根.则x2+x1的值为 (B) A.4 B.2 C.4 D.3 2.(2024·杭州期中)若x1,x2是方程x2+x-2=0的两个实数根,则-x2+2的值为 (A) A.5 B.6 C.7 D.8 3.(2023·眉山中考)已知方程x2-3x-4=0的根为x1,x2,则(x1+2)·(x2+2)的值为　6　. 4.(2024·苏州期中)设x1,x2是方程x2-3x+1=0的两个根,则+3x2+3=　11　. 5.(2023·鄂州中考)若实数a,b分别满足a2-3a+2=0,b2-3b+2=0,且a≠b,则+= 　. 6.设x1,x2是方程2x2+5x-7=0的两个根,不解方程,求下列式子的值. (1)+; (2)+. 【解析】∵x1,x2是方程2x2+5x-7=0的两个实数根, ∴x1+x2=-,x1x2=-, (1)原式=(x1+x2)2-2x1x2=+7=; (2)原式===-. 知识点2　利用根与系数的关系求字母的值 7.已知x1,x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根,且x1+x2=3,x1x2=1,则a,b的值分别是(D) A.a=3,b=1 B.a=3,b=-1 C.a=-,b=-1 D.a=-,b=1 8.(2024·广州期中)已知关于x的一元二次方程x2-2(1-m)x+m2=0的两个实数根为x1,x2,若x1·x2=1,则m的值为 (A) A.-1 B.1 C.1或-1 D. 9.若关于x的二次方程x2-3x+n=0的两根x1和x2满足x1+x2-2=x1x2,则n的值是　1　. 10.已知关于x的方程x2-2(k+1)x+k2-3=0有两个不相等的实数根x1和x2. (1)求k的取值范围; (2)用含k的代数式直接写出x1+x2=_____,x1·x2=_____; (3)若+=x1·x2+6,求实数k的值. 【解析】(1)由题意得:Δ=b2-4ac=4(k+1)2-4(k2-3)=8k+16, ∴8k+16>0,解得:k>-2; (2)由根与系数的关系可得:x1+x2=2k+2,x1·x2=k2-3; 答案:2k+2　k2-3 (3)∵x1+x2=2k+2, 又∵+=x1·x2+6, ∴-2x1x2=x1x2+6, 即=3x1x2+6, 由(2)可得:(2k+2)2=3(k2-3)+6, 整理得:k2+8k+7=0, ∴k1=-1,k2=-7,∵k>-2,∴k=-1. 11.已知关于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m=0. (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)如果方程的两个实根为x1,x2,且+-x1x2=27,求m的值. 【解析】 (1)x2-(m-3)x-m=0, ∵Δ=(m-3)2-4×(-m) =m2-6m+9+4m =m2-2m+1+8 =(m-1)2+8>0, ∴方程有两个不相等的实数根; (2)由根与系数的关系可得:x1+x2=m-3,x1x2=-m, ∵+-x1x2=27, ∴(x1+x2)2-3x1x2=27,即(m-3)2+3m=27, 解得:m=-3或m=6. 故m的值是-3或6. 12.B　∵x1+x2=m+3,x1x2=m2,x1+x2=2x1x2, ∴m+3=2m2, 解得m=-1或m=, ∵方程x2-(m+3)x+m2=0有两个相等的实数根, ∴Δ=b2-4ac=(m+3)2-4m2=-3m2+6m+9=0, 解得m=3或m=-1, ∴m=-1. 【B层 能力进阶】 12.关于x的方程x2-(m+3)x+m2=0有两个相等的实数根,且满足x1+x2=2x1x2,则m的值为 (B) A.-1或3 B.-1 C.3 D.-3或1 13.(2024·南京期中)若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和是m,两根之积是n,则关于t的方程a(t+1)2+b(t+1)+c=0的两根之积是 (C) A.n+m-1 B.n+m+1 C.n-m+1 D.n-m-1 14.(2023·宜宾中考)若关于x的方程x2-2(m+1)x+m+4=0两根的倒数和为1,则m的值为　2　. 15.已知关于x的方程ax2+(3-2a)x+a-3=0.如果方程有两个实数根x1,x2,当|x1-x2|=时,求出a的值. 【解析】方程的两个实数根为x1,x2, 则x1+x2=,x1·x2=, ∵|x1-x2|=, ∴==, 解得a=±2. 【C层 创新挑战（选做）】 16.(应用意识、推理能力、运算能力) 著名数学家高斯曾说过:“如果别人思考数学的真理像我一样深入持久,他也会找到我的发现”,我们向伟人看齐,将这种勤思善学、砺能笃行的精神运用于日常的数学学习中来,尝试发现新的惊喜. 【提出问题】 我们曾探究过一元二次方程根与系数的关系,如果一元二次方程的系数按照某种规律发生变化,原方程的根与新方程的根是否也会产生某种联系 【构造关系】 将一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项按照n∶1∶的比例放大或缩小,其中n≠0,我们称新方程为原方程的“系变方程”,系变倍数为n. (1)当系变倍数为3时, ... ...