第10讲 完全平方公式（九大题型）（PDF版含答案）2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪教版2024）

第 10 讲 完全平方公式（九大题型） 学习目标 1、会用图形证明完全平方公式； 2、学会用完全平方公式计算； 3、完全平方公式的应用。 一、知识引入 计算下列各题，并观察乘式与结果的特征： (1)(a+b) = (2)(2a+3b) = (3)(x-y) = (4)(2x-3y) = 通过计算你发现什么规律 比较等号两边的代数式，可以看到 两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的两倍，即 (a+b) =a +2ab+b , (a-b) =a -2ab+b . 这两个公式叫做完全平方公式.平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式. 思考：你能根据图（1） 和图（2）中的图形来说明完全平方公式吗 （1） （2） 二、完全平方公式 2 完全平方公式： a + b = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a 2 - 2ab + b2 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【方法规律】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加 （或减）这两数之积的 2 倍.以下是常见的变形： a2 + b2 = a + b 2 - 2ab = a - b 2 + 2ab a + b 2 = a - b 2 + 4ab 三、补充公式 (x + p)(x + q) = x2 + ( p + q)x + pq； (a ± b)(a2 m ab + b2 ) = a3 ± b3； (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 ； (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc . 【即学即练 1】下列四个多项式是完全平方式的是（ ） A． x2 +y2 B． x2 - 2xy - y2 1 C． 4m2 + 2mn + 4n2 D． a2 + ab + b24 【即学即练 2】计算： (1) x + 7 y 2 ； (2) -4a + 5b 2 ； (3) 2m n 2- - ； (4) 2x + 3y -2x - 3y ． 【即学即练 3】用简便方法计算： 2 (1) 20222021×2023 1 ； (2)20232 4046 × 2022 + 20222． 【即学即练 4】如果 x2 + kxy + 9y2是一个完全平方式，那么 k 的值为 ． 【即学即练 5】已知mn = 4 ，m - n =1，则m2 + n2的值为（ ） A．5 B．9 C．13 D．17 题型 1：利用完全平方公式计算 【典例 1】．计算： (1) 2y + 3 2； (2) 1 2 - a + 2b ÷ ； è 3 (3) 2a + 3 2 + 3a - 2 2 【典例 2】．计算： (1) x + 7 y 2 ； (2) -4a + 5b 2 ； (3) -2m 2- n ； (4) 2x + 3y -2x - 3y ． 【典例 3】．计算： (1)1982 ； (2)912 -88 92； (3) 0.2342 + 0.468 3.766 + 3.7662． 题型 2：利用乘法公式计算 【典例 4】．计算： (1) 3x -1 2 - 2x + 5 2 ； (2) m + n 2 m - n 2 ； (3) a + b a - b a2 - b2 ； (4) 2 a + 3 2 - 4 a + 3 a - 3 + 3 a - 2 2； (5) 2a +1 2 - 1- 2a 2； (6) a +1 2 2 a -1 2 a2 +1 ． 【典例 5】．计算： (1) x +1 2 - x2 - x ； (2) a +1 a -1 - a - 2 2 ； (3) 2x + 3 2 - 2x + 3 2x - 3 ； (4) x + 2 y 2 + x - 2 y x + 2 y + x x - 4 y ． 【典例 6】．综合运用乘法公式计算： (1) (a - 2)(a + 2)(a2 + 4) ； (2) (2x + y + z)(2x - y - z)． 题型 3：乘法公式的化简求值型 1 1 【典例 7 2】．先化简，再求值： x + y x - y + x + y - 2x ，其中 x = ， y = ． 2 3 【典例 8】．先化简，再求值： x - 2 3x +1 - 2 -1+ 3x 2 - 2x -1 -1- 2x ，其中 x = -2． 1 【典例 9】．先化简，再求值： (2a + 3b)2 - 3(2a - b)(2a + b) - 4a(-2a - b) 2，其中 | a + 2 | +(b - ) = 0． 2 题型 4：根据完全平方公式求参数的值 【典例 10】．若多项式 x2 -8x + k 是完全平方式，则 k = ． 【典例 11】．若 x2 + ax +144是完全平方式，则常数a = （ ） A．12 B．24 C．±12 D．±24 2 【典例 12】．若 3x - a = 9x2 - bx +16，则 a + b 的值为（ ） A．28 B．-28 C．24 或-24 D．28 或-28 【典例 13】．关于 x 的多项式9x2 + ax +1是完全平方式，则实数 a 的值是（ ） A．3 B． ±3 C．±6 D．6 2 1 【典例 14】．如果 x + mx + k 是一个完全平方式，那么 k 等于 ． 2 ... ...