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课件网) 8.1.2 样本相关系数 通过观察散点图中成对样本数据的分布规律，我们可以大致推断两个变 量是否存在相关关系、是正相关还是负相关、是线性相关还是非线性相关 等. 散点图虽然直观，但无法确切地反映成对样本数据的相关程度，也就 无法量化两个变量之间相关程度的大小. 能否像引人均值、方差等数字特 征对单个变量数据进行分析那样，引入一个适当的“数字特征” ，对成对样 本数据的相关程度进行定量分析呢 对于变量x和变量y ，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(x1, y1), (x2, y2), , (xn, yn) ，其中x1, x2, , xn和y1, y2, , yn 的均值分别为 x和y . 将数据 以(x,y) 为零点进行平移，得到平移后的成对数据为 (x1 — x,y1 — y ),(x2 — x,y2 — y ),. ..,(xn — x,yn — y ), 并绘制散点图. 通过绘图分析可得，如果变量x和y正相关 ，那么关于均值平移后的大多数散点 将分布在第一象限 、第三象限 ，对应的成对数据同号的居多 ，如图 (1)所示； 如果变量x和y负相关 ，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第二象限 、 第四象限 ，对应的成对数据异号的居多 ，如图(2)所示. 思考1 根据上述分析，你能利用正相关变量和负相关变量的成对样本数据 平移后呈现的规律，构造一个度量成对样本数据是正相关还是负相关的数 字特征吗 利用散点(xi — x,yi — y )(i = 1, 2, . . ., n) 的横 、纵坐标是否同号 ，可以构造 一个量 = [(x1 — x )(y1 — y ) + (x2 — x )(y2 — y ) + . . . + (xn — x )(yn — y )]. 一般情形下，Lxy>0表明成对样本数据正相关； Lxy <0表明成对样本数据负相关. L xy 思考2 Lxy的大小是否一定能度量出成对样本数据的相关程度吗 因为Lxy的大小与数据的度量单位有关，所以不宜直接用它度量成对样本数据相关 程度的大小. 为了消除度量单位的影响，需要对数据作进一步的“标准化”处理. 我们用 分别除xi — x和yi — y (i = 1, 2, . . ., n),并仿照Lxy的构造可得 我们称r为变量x和变量y的样本相关系数. (xi — x)(yi — y) r = · (xi — x)2 . · (yi — y)2 +…+ 同理可得 2 思考3 样本相关系数r的大小与成对样本数据的相关程度有什么内在联系呢？ 标准化处理后的成对样本数据: (x1' , y1'), (x2 ' , y2 '), ..., (xn' , yn') -→ - 设其第一分量为 x' = (x1' , x2 ' , ..., xn ' ) 设其第二分量为 y' = (y1' , y2' , ..., yn' ) ● | cos θ r = cosθ :-1≤ r ≤1 相关系数的性质： ① 当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关. ② |r|≤1； ③ 当|r|越接近1时，成对数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对数 据的线性相关程度越弱；注意，当|r| ＝0时，成对数据没有线性相关关系，但不 排除它们之间有其他相关关系；当|r| ＝1时，成对数据都落在一条直线上. 一般地：若0.75≤|r|≤1 ， 则认为y与x的线性相关程度很强； 若0.3 ≤|r|<0.75 ， 则认为y与x的线性相关程度一般； 若|r|≤0.25 ， 则认为y与x的线性相关程度较弱. 样本相关系数 图(1) 中成对样本数据的正 线性相关程度很强. 图(2) 中成对样本数据的负 线性相关程度比较强. 图(3)中对样本数据的线性 相关程度很弱. 图(4)中成对样本数据的线 性相关程度极弱. 练习1 √ 练习3.两个变量x ，y的样本相关系数r1 ＝0.7859 ，两个变量u ，v的样本相关系数r2 = -0.9568 ，则下列判断正确的是( C ) A.变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强 B.变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强 C.变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v 的线性相关性较强 D.变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v 的线性相关性较强 8 ... ...
