5.4.3 正切函数的性质与图象 7 题型分类 一、正切函数的图象 二、正切函数的性质 1 ．定义域： x | x k ,k z ， 2 2．值域：R 3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是 4．奇偶性：正切函数是奇函数，即 tan x tan x ． 5 ．单调性：在开区间 k , k k z 内，函数单调递增 2 2 三、正切函数型 y A tan( x )(A 0, 0)的性质 1、定义域：将“ x ”视为一个“整体”．令 x k , k z 解得 x ． 2 2、值域： , 3 、 单 调 区 间 ：（ 1 ） 把 “ x ” 视 为 一 个 “ 整 体 ” ；（ 2 ） A 0(A < 0) 时 ， 函 数 单 调 性 与 y tan x(x k ,k z) 的相同（反）；（3）解不等式，得出 x 范围． 2 4、周期：T （一） 正切函数的定义域、值域问题 (1)求正切函数定义域的方法 ①求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数 y＝tan x 有 π 意义，即 x≠ ＋kπ，k∈Z. 2 ②求正切型函数 y＝A tan (ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令 ωx＋φ≠kπ＋ π ，k∈Z，解得 x. 2 (2)求正切函数值域的方法 ①对于 y＝Atan (ωx＋φ)的值域，可以把 ωx＋φ 看成整体，结合图象，利用单调性求值域． ②对于与 y＝tan x 相关的二次函数，可以把 tan x 看成整体，利用配方法求值域 题型 1：正切函数的定义域问题 π 1-1．（2024 高一上·山西朔州·期末）函数 f (x) 3tan(4x ) 的定义域为 . 12 π 1-2．（2024 · · y 1 tan 高一 全国 课堂例题）函数 x 的定义域为 ． 4 y sin x cos x1-3．（2024 高一·全国·课堂例题）函数 的定义域为 ． tan x 题型 2：正切函数的值域问题 2-1．（2024 高一·全国·课后作业）函数 y tan x , x ,6 6 3 的值域为 . π π 2-2．（2024 高一·全国·课后作业）函数 y 1 3 tan x x 的值域为 ． 4 3 2-3 2．（2024 高一上·海南省直辖县级单位·期末）函数 y tan x tan x 2, x , 的值域为 . 4 4 2-4．（2024 高一下· 2上海长宁·期中）函数 f x 2 tan x 5 tan x 2， x , 的值域为 ． 4 4 （二） 正切函数的图象问题 熟练掌握正切函数的图象和性质是解决与正切函数有关的综合问题的关键，需注意的是正切曲线是被相互 π 平行的直线 x＝ ＋kπ，k∈Z 隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的． 2 题型 3：正切函数的图象及应用 3-1．（2024 高一上·宁夏银川·期末）函数 f x 2x × tan x（ 1 < x <1）的图象可能是（ ） A． B． C． D． π π 3-2．（2024 高二下·浙江丽水·期中）函数 f (x) 3x3 tan x 在 , 的图象大致为（2 2 ） A． B． C． D． 3-3．（2024 高一上·全国·课后作业）画出函数 y | tan x |的图象． (1)根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性； (2)求不等式 | tan x | 1的解集． 3-4．（2024 高一上·广东·期末）若函数 y tan(x )( 0)的图象与直线 x π 没有交点，则 的最小值为 （ ） π π A．0 B． C． D． π 4 2 3-5．（2024 高一·全国·课堂例题）观察正切函数曲线，写出满足下列条件的 x 的集合． (1)满足 tanx 0的集合． (2)满足 tanx < 0的集合． (3)满足 tanx 0的集合． （三） 正切函数的单调性及其应用 (1)运用正切函数单调性比较大小的方法 ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． ②运用单调性比较大小关系． (2)求函数 y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法 π π y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把 ωx＋φ 看成一个整体，解－ ＋kπ<ωx＋φ< ＋kπ，k∈Z 即可．当 2 2 ω<0 时，先用诱导公式把 ω 化为正值再求单调区间． 题型 4：正切函数的单调性及其应用 4-1．（2024 高一下·全国·单元测试）函数 y tan 3x 6 的单调区间是（ ） kπ π ,kπ π 2 A ... ...
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