5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 [学习目标] 1.了解“平移法”绘制正弦曲线、余弦曲线的过程,会用“五点(画图)法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象.(重点)2.掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换,能通过函数图象解决简单的问题.(难点) 导语 同学们,我国著名数学家华罗庚教授写过这样一首诗:“数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞.数缺形时少直觉,形少数时难入微.数形结合百般好,隔离分家万事休;切莫忘,几何代数统一体,永远联系,莫分离.”诗中充分肯定了数形结合这一重要的数学思想方法,前面我们主要从“数”的角度研究了三角函数的一些问题,这节课我们将从“形”上来研究三角函数. 一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识 问题1 结合所学,研究函数的一般步骤是什么 提示 先确定函数的定义域,然后画出函数图象,通过图象研究函数的值域、单调性、最值、对称性、奇偶性等函数的性质. 问题2 绘制函数图象,首先要准确绘制其上一点,对于正弦函数,在[0,2π]上任取一个值x0,如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0,并画出点T(x0,sin x0) 提示 如图,在[0,2π]上任取一个值x0,根据正弦函数的定义可知y0=sin x0,此时弧AB的长度为x0,结合每一个角的弧度数与实数的一一对应关系,可得点T(x0,sin x0). 问题3 我们已经学会绘制函数图象上的点,接下来,如何画函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象 你能想到什么方法 提示 如图,借助单位圆,在x轴上把[0,2π]12等分,它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分,就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点,当然,把圆周等分的份数越多,将这些点用光滑的曲线连接起来,得到的正弦函数图象越精确(通过信息技术展示),然后根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着x轴向左和向右连续的平行移动,每次移动的距离为2π,就得到函数y=sin x,x∈R的图象. 知识梳理 1.正弦函数的图象叫做正弦曲线. 函数 y=sin x,x∈R 图象 2.余弦函数的图象叫做余弦曲线. 函数 y=cos x,x∈R 图象 例1 (多选)下列叙述正确的有 ( ) A.y=sin x,x∈[0,2π]的图象关于点P(π,0)成中心对称 B.y=cos x,x∈[0,2π]的图象关于直线x=π成轴对称 C.正弦、余弦函数的图象不超过直线y=1和y=-1所夹的范围 D.正弦函数y=sin x(x∈R)的图象关于x轴对称 答案 ABC 解析 分别画出函数y=sin x,x∈[0,2π]和y=cos x,x∈[0,2π]的图象(略),由图象观察可知A,B,C均正确. 反思感悟 解决正弦、余弦函数图象的注意点 对于正弦、余弦函数的图象问题,要画出正确的正弦曲线、余弦曲线,掌握两者的形状相同,只是在坐标系中的位置不同,可以通过相互平移得到. 跟踪训练1 下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述,不正确的是 ( ) A.都可由[0,2π]内的图象向上、向下无限延展得到 B.都是对称图形 C.都与x轴有无数个交点 D.y=sin(-x)的图象与y=sin x的图象关于x轴对称 答案 A 解析 由正弦、余弦函数的图象知,B,C,D正确. 二、“五点(画图)法”画函数的图象 问题4 如何画函数y=sin x,x∈[0,2π]的简图 提示 根据前面的探究,我们发现,只需抓住函数图象上的几个关键点,然后用圆滑的曲线连接即可.今后在精确度要求不高时,常常先找出五个关键点(0,0),,(π,0),,(2π,0). 知识梳理 “五点(画图)法” 函数 y=sin x y=cos x 图象画法 五点法 五点法 关键五点 (0,0),, (π,0),,(2π,0) (0,1),, (π,-1),, (2π,1) 例2 用“五点法”作下列函数的图象: (1)y=1-2sin x,x∈[0,2π]; (2)y=cos x+,x∈[-π,π]. 解 (1)列表: x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 1-2sin x 1 -1 1 3 1 描点连线,画图如下. (2)列表: x -π - 0 π cos x -1 0 1 0 -1 cos x+ - - 描点连线,画图如下. 反思感悟 作形如y=asin x+b(或y=acos x+b),x∈[0,2π]的图象的 ... ...
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