第六章 立体几何初步——高一数学北师大版必修二单元测试（含解析）

第六章 立体几何初步———2024-2025学年高一数学北师大版必修二单元测试 一、选择题 1．《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈.高五丈.问积几何（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长丈，上底边长丈.高丈.问它的体积是多少立方丈？( ) A. B. C. D. 2．若某圆锥的母线与底面所成的角为,且其母线长为4,则该圆锥的体积为( ) A. B. C. D. 3．某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究,发现将该圆锥放倒在一平面上,使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动,当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时,圆锥本身恰好滚动了周,如图,若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为,则该圆锥的体积为( ) A. B. C. D. 4．某圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形,则该圆锥的侧面积为( ) A. B. C. D. 5．在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.在方亭中,,四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为,则该方亭的体积为( ) A. B. C. D. 6．设A，B是直线l上两点，则“A，B到平面a的距离相等”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7．米斗是古代官仓、米行等用来称量粮食的器具,鉴于其储物功能和吉祥富足的寓意,现今多在超市、粮店等广泛使用.如图为一个正四棱台形米斗（忽略其厚度）,其上、下底面边长分别为,侧棱长为,若将该米斗盛满大米（沿着上底面刮平后不溢出）,设每立方分米的大米重千克,则该米斗盛装大米约( ) A.6.08千克 B.10.16千克 C.12.16千克 D.11.16千克 8．若制作一个容积为32的无盖正四棱柱容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最省，其底面边长为( )（） A.2 B. C. D.4 二、多项选择题 9．判断平面与平面平行的条件可以是( ) A.平面内有无数条直线都与平行 B.直线，，且， C.平面，且平面 D.平面内有两条不平行的直线都平行于平面 10．已知，是两个平面，则下列条件可以得到的是( ) A.对平面内的任何一条直线l，都有 B.平面内有无数条直线与平面平行 C.平面内任意一条直线与平面内的任意一条直线都没有公共点 D.平面内有两条相交直线都在平面外 11．已知直线a，b，c两两异面，且，，下列说法正确的是( ) A.存在平面，，使，，且， B.存在平面，，使，，且， C.存在平面，使，，且 D.存在唯一的平面，使，且a，b与所成角相等 三、填空题 12．已知圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,体积为,则该圆台的母线长为_____. 13．已知三棱锥的底面ABC是边长为3的等边三角形.若三棱锥的外接球的体积为，则三棱锥的体积的取值范围为_____. 14．若某正四棱台的上 下底面的边长分别为2和4,侧棱长为,则其体积为_____. 四、解答题 15．在四棱锥中,底面为直角梯形,,,,三棱锥的体积为,平面与平面的交线为l. （1）求四棱锥的体积,并在答卷上画出交线l（注意保留作图痕迹）. （2）若,,且平面平面,在上是否存在点N,使平面与平面所成角的余弦值为？若存在,求的长度;若不存在,请说明理由. 16．如图，B为所在平面外一点，M、N、G分别为、、的重心. （1）求证：平面平面ACD； （2）求. 17．已知在正三棱柱中,,. （1）已知E,F分别为棱,的中点,求证：平面; （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18．如图所示,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别为AB,PC的中点,平面平面. （1）求证:; （2）MN与平面PAD是否平行 试证明你的结论. 19．如图所示,从底面半径为,高为的圆柱中,挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆柱,求原圆柱的表面积与挖去圆柱后的几何体的表面积的比值. 参考答案 1．答案：B 解析： . 故选:B 2．答案：A 解析：因为该圆锥的母线与底面所成的角为,且其母线长为4, 所以该圆锥的高与底面半径相等,且都等于, 所以该圆锥的体积, 故选：A. 3．答案 ... ...