第四章 三角恒等变换——高一数学北师大版必修二单元测试（含解析）

第四章 三角恒等变换———2024-2025学年高一数学北师大版必修二单元测试 一、选择题 1．在中,若,且,那么一定是( ) A. 等腰直角三角形 B.直角三角形 C. 等腰三角形 D.等边三角形 2．已知，，则( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3．已知,则( ) A. B. C. D. 4．如图,,是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角,则( ) A. B. C. D.1 5．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长l与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的( ) A.倍 B. C.倍 D. 6．如图所示，为的边上的高，，，则( ) A.3 B.4 C. D. 7．顶角为的等腰三角形，常称为“最美三角形”.已知，则“最美三角形”的底边长与腰长的比为( ) A. B. C. D. 8．已知，则( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9．已知，，，则下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 10．已知O为坐标原点，点，，，，则( ) A. B. C. D. 11．下列各式中,值为的是( ) A. B. C. D. 三、填空题 12．已知,,则_____. 13．若，则_____. 14．已知，是方程的两根，则_____. 四、解答题 15．已知向量，，函数. (1)求的单调递减区间； (2)把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，求的对称轴方程. 16．已知函数. (1)若点在角的终边上，求的值； (2)若，求的值域. 17．已知，. (1)求； (2)求. 18．已知,求下列各式的值. （1）; （2）. 19．已知. （1）求的值. （2）求的值. 参考答案 1．答案：D 解析：,则, 因为A,,所以,则, 又因为,,则, 则,即, 即,又因为A,,则, 所以,即. 即一定是等边三角形,故D正确. 故选：D. 2．答案：A 解析：，， 则， 故选A. 3．答案：A 解析：因为,可得, 可得, 所以. 故选:A. 4．答案：D 解析：由图可得：, 则 故选：D. 5．答案：C 解析：由第一次的“晷影长"是“衣高”的3倍得，又，所以，故第二次的“晷影长”是“表高”的倍. 故选：C. 6．答案：C 解析：由题意：在直角中，； 在直角中，; 所以. 故选：C. 7．答案：B 解析：如图，在中，，，点D为中点， 所以，， 又，则， 解得或（舍去）， 即， 又， 所以，即“最美三角形”的底边长与腰长的比为. 故选：B. 8．答案：A 解析：因为，可得， 可得， 所以. 故选：A. 9．答案：AC 解析：由已知得，，两式分别平方相加得，整理得，故A正确，B错误； ，，，，，故C正确，D错误.故选AC. 10．答案：AC 解析：方法一：对于选项A，因为，，所以，，则，故A正确；对于选项B，因为，， 所以，，当时，，故B错误；对于选项C，，，所以，， 所以，故C正确；对于选项D，，，当且时，，故D错误.故选AC. 方法二：如图，由图可知，故A正确；当且仅当时，成立，故B错误；因为，，且，故C正确；，，因为与不一定相等，故D错误.故选AC. 11．答案：BC 解析：由余弦倍角公式,可得,所以A不正确; 由正切的倍角公式,可得,所以B正确;由正弦的倍角公式,可得,所以C正确; 由,所以D不正确. 故选:BC. 12．答案： 解析：, 故答案为:. 13．答案：3 解析：由，得， 显然，否则，矛盾， 所以. 故答案为：3. 14．答案：1 解析：因为，是方程的两根， 所以，， 所以 . 故答案为：1 15．答案：(1)， (2) 解析：(1)， 令，，解得：，， 故的单调递减区间为，； (2) 由题意得：， 令，，解得：，， 故的对称轴方程为 16．答案：(1) (2) 解析：（1）因为点在角的终边上，所以，，所以 （2）， 因为，所以， 所以， 所以的值域是. 17．答案：(1) (2)-2 解析：（1）因为，则，由， 解得. . ... ...