容斥问题（小学数学竞赛专项训练）

登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧 登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧 容斥问题（小学数学竞赛专项训练） 认识典型模型 提升解模能力 发展建模思维 考试时间：75分钟 姓名：_____ 班级：_____考号：_____ 注意事项： 1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写 2、提前 5 分钟收取答题卡 阅卷人 一、模型构建 得分 1．三年级有20个同学参加兴趣小组，其中参加数学小组的有15人，参加语文小组的有13人． （1）既参加数学小组又参加语文小组的有　 　 人， （2）只参加数学小组的有　 　 人． 【答案】（1）8 （2）7 【知识点】容斥原理 【解析】【解答】解：（1）15+13﹣20 =28﹣20 =8（人）； 答：既参加语文兴趣小组又参加数学兴趣小组的有8人． （2）15﹣8=7（人） 答：只参加数学小组的有7人． 故答案为：8，7． 【分析】（1）因为两个小组都参加的人数重复数了两次，所以参加两个兴趣小组的人数 和比实际全班人数多，用参加两个兴趣小组的人数减去全班人数就是两个小组都参加的人数． （2）用参加数学小组的人数，减去既参加数学小组又参加语文小组的人数即可求得． 2．（2019三上·临河期末）同学们到动物园游玩，参观熊猫馆的有25人，参观大象馆的有30人，两个馆都参观的有18人．去动物园的一共有　 　人。 【答案】37 【知识点】容斥原理 【解析】【解答】解：25+30-18=37（人）。 故答案为：37。 【分析】去动物园的总人数=参观熊猫馆的人数+参观大象馆的人数-两馆都参观的人数，据此代入数据解答即可。 3．某校园标舞团共有 43 人，其中会拉丁舞的有 15 人，会探戈的有 13 人，两者都会的有 5 人，那两种都不会的有　 　人。 【答案】20 【知识点】集合重叠问题；二量容斥 【解析】【解答】 (人) 答：两种都不会的有 20 人。 故答案为：20. 【分析】都不会的人数=总人数-至少会一种的人数，根据题意可知：至少会一种的人数=会拉丁舞的人数+会探戈的人数-两种都会的人数=15+13-5=23（人），那么都不会的人数=43-23=20（人）。 4．（科学城巴蜀）五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩，其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人，语文、数学都优秀的有　 　人. 【答案】30 【知识点】容斥原理；多量容斥的最值问题 【解析】【解答】解： 65+87-122=30（人） 答：语文、数学都优秀的有30人。 故答案为：30。 【分析】因为每人至少有一门功课取得优秀成绩，所以语文优秀和数学优秀的人数之和应包括三种情况：只有语文优秀、只有数学优秀、既有语文优秀也有数学优秀，所以用语文优秀的人数加上数学优秀的人数再减去参加的总人数，就是既有语文优秀也有数学优秀的人数。 5．（2019四下·峄城期末）各学校暑假后，下午放学后要进行课后服务，学校对体育和绘画两项活动进行调查。四年级一班有学生45人，通过调查其中32人对体育感兴趣，28人对绘画感兴趣，对两样都感兴趣的有21人，四一班对两样都不感兴趣的有多少人？ 【答案】解：32+28-21=39（人） 45-39=6（人） 答：四一班对两样都不感兴趣的有6人。 【知识点】容斥原理 【解析】【分析】根据只对体育感兴趣、只对绘画感兴趣和对两样都感兴趣的总人数=对体育感兴趣的人数+对绘画感兴趣的人数-两样都感兴趣的人数，求出只对体育感兴趣、只对绘画感兴趣和对两样都感兴趣的总人数，然后根据对两样都不感兴趣的人数=班级总人数-只对体育感兴趣、只对绘画感兴趣和对两样都感兴趣的总人数，即可解答。 阅卷人 二、模型进阶 得分 6．（2022·重庆市）某班有46人，其中会弹钢琴的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班既会弹钢琴又会拉小提琴的至少有　 　人． 【答案】12 【知识点】容斥原理 【解析】【解答】解：30+28-46 =58-46 =12（ ... ...