江苏省南通市海安市实验中学2025届高三上学期学业质量统测（一）数学试题（含答案）

江苏省南通市海安市实验中学2025届高三上学期学业质量统测（一）数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设复数满足，则的共轭复数为( ) A. B. C. D. 2.已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图，则的值为( ) A. B. C. D. 3.设集合，，且，则( ) A. B. C. D. 4.命题，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.设是定义域为的奇函数，，当时，，则( ) A. B. C. D. 6.我们知道当或时，若，，，则( ) A. B. C. D. 7.函数，对任意，，且，都有，则的范围是( ) A. B. C. D. 8.若，则的最小值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知函数，则( ) A. 在单调递增 B. 有两个零点 C. 的最小值为 D. 在点处切线为 10.设偶函数的定义域为，若为奇函数，则( ) A. B. C. 函数的一个周期是 D. 11.已知，则( ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数则 ． 13.设幂函数，则不等式的解集为 ． 14.已知曲线与有公共切线，则实数的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 某品牌空调销售商发现：月份到月份，空调月销售量单位：台与月份线性相关根据统计得下表： 月份 销量 计算得月份与销量满足试估计月份该品牌空调的销售量 该销售商从当年的前个月中随机选取个月，记为销量不低于前个月的月平均销量的月份数，求的分布列和数学期望． 16.本小题分 设公比为正的等比数列前项和为，，且，，成等差数列． 求的通项 若数列满足，，求数列的前项和． 17.本小题分 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，，是中点，是中点． 证明：直线平面 设，求平面与平面的夹角． 18.本小题分 已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆在第一象限上的点满足，点关于轴的对称点为． 求点的坐标 在轴上任取一点，直线交直线于点，求的最大值 设点在椭圆上，记与的面积分别为，，若，求点的坐标． 19.本小题分 已知函数． 当时，求曲线在点处的切线方程 当时，证明：曲线是轴对称图形 若函数在上单调递减，求实数的取值范围． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：， ， 又回归直线过样本中心点，所以，得， 所以，当时，， 所以预测当年月份该品牌的空调可以销售台； 因为，所以销量不低于前个月的月平均销量的月份数为，，， 所以，，，， 所以， ， ， ， 所以的分布列为： 故数学期望． 16.解：设的公比为， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 又因为，，成等差数列， 所以， 即， 得，所以； 因为， 所以，可得，，，， 因为， 所以， 所以， 所以． 17.证明：取的中点为，连接，， ，分别为，的中点， 且． 又，， 故且， 故四边形为平行四边形，， 平面，平面， 故直线平面； 由底面，且四边形为正方形，得直线，，两两垂直， 以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， 所以，． 设平面的法向量为， 所以 令，得． 设平面的法向量为， 因为， 所以， 又因为， 所以 令，得， 所以，． 所以平面与平面的夹角为． 18.解：由椭圆的左，右焦点分别为，， 设，，，因为，可得， 整理得，又因为， 联立方程组 解得，， 所以点坐标为 设点坐标为，则可得点坐标为， 由， 当时，取最大值，最大值为． 点的坐标为，点的坐标为， 则点到线段的距离，若，则点到线段的距离应为， 故点的纵坐标为或，代入椭圆方程， 解得点纵坐标为时， 点的纵坐标为时， 故点的坐标为或 19.解：当时，，所以， 可得，所以， 所以曲线在点处的切线方程 ... ...