4.2.1 对数运算（教案+学案）高中数学 人教B版 必修第二册

4.2.1　对数运算 [学习目标]　1.理解对数的概念,能进行指数式与对数式的互化.2.理解对数的底数和真数的取值范围.3.掌握对数的基本性质及对数恒等式. 导语 苏格兰数学家纳皮尔,在研究天文学的过程中,为了简化其中的计算而发明了对数.对数的出现是基于当时天文、航海、工程、贸易以及军事快速发展的需要而出现的.经过不断发展,人们发现,对数与指数存在互逆的关系,然而更有意思的是“对数源自于指数”,而对数的发明却先于指数,对数是用来解决指数所不能解决的问题,让我们一起来发现对数与指数的关系吧! 一、对数的概念及应用 问题1　我们知道若2x=4,则x=2;若3x=81,则x=4;若=128,则x=-7等等这些方程,我们可以轻松求出x的值,但对于2x=3,1.11x=2,10x=5等这样的指数方程,你能求出方程的解吗 提示　用指数方程不能解决上述方程,为了解决这个问题,早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案,那就是发现了指数与对数的互逆关系,用对数来表示指数方程的解. 问题2　现在你能解指数方程2x=3,1.11x=2,10x=5了吗 提示　x=log23;x=log1.112;x=log105. 知识梳理 1.对数的概念:在表达式ab=N(a>0且a≠1,N∈(0,+∞))中,当a与N确定之后,只有唯一的b能满足这个式子,此时,幂指数b称为以a为底N的对数,记作b=logaN,其中a称为对数的底数,N称为对数的真数. 2.两种特殊对数 常用对数:以10为底的对数称为常用对数,log10N可简写为lg N. 自然对数:以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数称为自然对数,logeN通常简写为ln N. 3.对数式与指数式的互化关系: 若a>0且a≠1,则ax=N logaN=x. 注意点: (1)因为对数是由指数转化而来,所以底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变,只是位置和名称发生了变化. (2)logaN的读法:以a为底N的对数. 例1　将下列指数式与对数式互化: (1)2-2=;(2)102=100; (3)ea=16;(4)6=; (5)log39=2;(6)logxy=z(x>0且x≠1,y>0). 解　(1)log2=-2. (2)log10100=2,即lg 100=2. (3)loge16=a,即ln 16=a. (4)log64=-. (5)32=9. (6)xz=y. 反思感悟　指数式与对数式互化的思路 (1)将指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式. (2)将对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式. 跟踪训练1　将下列指数式与对数式互化: (1)log216=4;(2)lox=6; (3)43=64;(4)3-3=. 解　(1)因为log216=4,所以24=16. (2)因为lox=6,所以()6=x. (3)因为43=64,所以log464=3. (4)因为3-3=,所以log3=-3. 例2　(1)求下列各式中x的值: ①log64x=-;②logx8=6; ③lg 100=x;④-ln e2=x. 解　①x=6=(43=4-2=. ②因为x6=8,x>0,且x≠1, 所以x=(x6==(23==. ③因为10x=100=102,所以x=2. ④由-ln e2=x,得-x=ln e2, 即e-x=e2. 所以x=-2. (2)设a=log310,b=log37,求3a-b的值. 解　因为a=log310,b=log37, 所以3a=10,3b=7. 则3a-b==. 反思感悟　对数式中求值的基本方法 (1)将对数式化为指数式,构建方程转化为指数问题. (2)利用指数幂的运算性质求解. 跟踪训练2　(1)计算log927,lo81的值; 解　设x=log927,则9x=27,32x=33, ∴2x=3,x=. 设x=lo81,则()x=81,=34, ∴=4,x=16. (2)求下列各式中x的值: ①log27x=-;②logx16=-4. 解　①∵log27x=-, ∴x=2=(33=3-1=. ②∵logx16=-4, ∴x-4=16,即x4==, 又x>0,且x≠1,∴x=. 二、对数的性质及对数恒等式 知识梳理 1.对数恒等式:=N(a>0且a≠1);logaab=b(a>0且a≠1). 2.对数的性质 (1)loga1=0(a>0且a≠1). (2)logaa=1(a>0且a≠1). (3)0和负数没有对数. 注意点: 对数恒等式中logaN前系数为1. 例3　求下列各式中x的值: (1)log2(log5x)=0;(2)log3(lg x)=1; (3)x=. 解　(1)∵log2(log5x)=0, ∴log5x=20=1,∴x=51=5. (2)∵log3(lg x)=1,∴lg x=31=3, ∴x=103=1 000. (3)x===. 反思感悟　(1)此类题型应利用对 ... ...