4.2.2 对数运算法则（教案+学案）高中数学 人教B版 必修第二册

4.2.2　对数运算法则 [学习目标]　1.掌握对数的运算法则,理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.会运用对数运算法则进行一些简单的化简与证明. 导语 同学们,数学运算的发展可谓是贯穿了整个人类进化史,从人们对天文、航天、航海感兴趣开始,发现数太大了,天文学家开普勒利用他的对数表简化了行星轨道的复杂计算,对数被誉为“用缩短计算时间而使天文学家延长寿命”,对整个科学的发展起了重要作用. 一、对数的运算法则 问题1　将指数式M=ap,N=aq化为对数式,结合指数运算性质MN=apaq=ap+q能否将其化为对数式 它们之间有何联系(用一个等式表示) 提示　由M=ap,N=aq得p=logaM,q=logaN. 由MN=ap+q得p+q=loga(MN). 从而得出loga(MN)=logaM+logaN(a>0且a≠1,M>0,N>0). 问题2　结合问题1,若==ap-q,又能得到什么结论 提示　将指数式=ap-q化为对数式,得 loga=p-q=logaM-logaN(a>0且a≠1,M>0,N>0). 问题3　结合问题1,若Mn=(ap)n=anp(n∈R),又能有何结果 提示　由Mn=anp,得logaMn=np=nlogaM(a>0且a≠1,M>0,n∈R). 知识梳理 如果a>0且a≠1,M>0,N>0,α∈R,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)logaMα=αlogaM. (3)loga=logaM-logaN. 为方便记忆,上述法则可表述为:积的对数等于对数之和,商的对数等于对数之差,幂的对数等于幂指数乘以幂的底数的对数. 注意点: (1)法则的逆运算仍然成立. (2)公式成立的条件是M>0,N>0,而不是MN>0,比如式子log2[(-2)×(-3)]有意义,而log2(-2)与log2(-3)都没有意义. (3)性质(1)可以推广为:loga(N1N2…Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk,其中Nk>0,k∈N+. 例1　计算下列各式的值: (1)log345-log35; (2)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2; (3)lg 14-2 lg+lg 7-lg 18; (4)lg 52+lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2. 解　(1)原式=log3=log39=log332=2. (2)原式=(lg 5+lg 2)(lg 5-lg 2)+2lg 2 =lg 10(lg 5-lg 2)+2lg 2 =lg 5-lg 2+2lg 2=lg 5+lg 2=1. (3)原式=lg(2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg(32×2) =lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2=0. (4)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2 =2lg 10+(lg 5+lg 2)2 =2+(lg 10)2=2+1=3. 反思感悟　利用对数运算法则化简与求值的原则和方法 (1)基本原则: ①正用或逆用运算法则,对真数进行处理; ②选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行. (2)两种常用的方法: ①“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数; ②“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差). 跟踪训练1　计算下列各式的值: (1)2log23-log2+log27-; (2)log3+lg 25+lg 4-log2(log216). 解　(1)原式=log29-log2+log27-2 =log2-2=3-2=1. (2)原式=log33+lg(25×4)-2=+2-2=. 二、换底公式 问题4　上节课我们学习了对数的运算性质,但对于一些式子,比如log48,log927等式子的化简求值问题还不能做到,你能解决这个问题吗 提示　设log48=x,故有4x=8,即22x=23,故x=,而log28=3,log24=2,于是我们大胆猜测log48=,同样log927=. 问题5　是否对任意的logab都可以表示成logab=(a>0且a≠1,b>0,c>0且c≠1) 说出你的理由. 提示　依据当a>0且a≠1时,ax=N logaN=x推导得出. 令=x,则logcb=xlogca=logcax, 故b=ax, ∴x=logab,∴logab=. 知识梳理 1.logab=(a>0且a≠1,b>0,c>0且c≠1). 2.对数换底公式的重要推论 (1)logaN=(N>0且N≠1,a>0且a≠1). (2)bm=logab(a>0且a≠1,b>0,n≠0). (3)logab·logbc·logcd=logad(a>0,b>0,c>0,d>0且a≠1,b≠1,c≠1). 注意点: (1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义. (2)在具体运算中,我们习惯换成常用对数或自然对数,即logab=或logab=(a>0且a≠1,b>0). 例2　(1)计算:(log43+log83)log32=　　　　. 答案　 解析　原式=log32 =log32=+=. (2)已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表 ... ...