5.4统计与概率的应用 [学习目标] 1.能用随机模拟的方法进行估计.2.了解游戏、遗传性问题中的概率问题.3.利用统计和概率的知识解决日常生活和其他学科中的一些难题. 导语 统计与概率主要是研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻化,来帮助人们做出合理的决策.随着社会的不断发展,统计与概率的思想方法也越来越重要. 一、统计的应用 例1 某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到如下频数分布表: 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.7) 频数 1 3 2 4 9 26 5 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) 频数 1 5 13 10 16 5 (1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图; (2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率; (3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水 (一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表) 解 (1)如图所示. (2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天中日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48, 因此该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48. (3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为=×(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48. 该家庭使用了节水龙头50天日用水量的平均数为=×(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35. 估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)×365=47.45(m3). 反思感悟 频率分布直方图是考查数据收集和整理的常用依据,掌握频率分布直方图中常见数据的提取方法是解决此类问题的关键. 跟踪训练1 某销售公司为了解员工的月工资水平,从1 000位员工中随机抽取了100位员工进行调查,得到如下的频率分布直方图: (1)试由此图估计该公司员工的月平均工资; (2)该公司的工资发放是以员工的营销水平为重要依据确定的,一般认为,工资低于4 500元的员工属于学徒阶段,没有营销经验,若进行营销将会失败;高于4 500元的员工属于成熟员工,进行营销将会成功.现将该样本按照“学徒阶段工资”“成熟员工工资”分成两层,进行分层抽样,从中抽出5人,在这5人中任选2人进行营销活动.活动中,每位员工若营销成功,将为公司赚得3万元,否则公司将损失1万元.在此次活动中公司收入多少万元的可能性最大 解 (1)估计该公司员工的月平均工资为0.000 1×1 000×2 000+0.000 1×1 000×3 000+0.000 2×1 000×4 000+0.000 3×1 000×5 000+0.000 2×1 000×6 000+0.000 1×1 000×7 000=4 700(元). (2)抽取比为=, 从工资在[1 500,4 500)内的员工中抽出100×(0.1+0.1+0.2)×=2(人),设这两位员工分别为1,2;从工资在[4 500,7 500]内的员工中抽出100×(0.3+0.2+0.1)×=3(人),设这三位员工分别为A,B,C. 从中任选2人,共有以下10个样本点:(1,2),(1,A),(1,B),(1,C),(2,A),(2,B),(2,C),(A,B),(A,C),(B,C). 两人营销都成功,公司收入6万元,有以下3个样本点:(A,B),(A,C),(B,C),概率为; 其中一人营销成功,一人营销失败,公司收入2万元,有以下6个样本点:(1,A),(1,B),(1,C),(2,A),(2,B),(2,C),概率为=; 两人营销都失败,公司损失2万元,有1个样本点:(1,2),概率为. ∵<<,∴公司收入2万元的可能性最大. 二、概率的应用 例2 A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查,调查结果如下: 所用时间(分钟) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 选择L1的人数 6 12 1 ... ...
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