6.1.3 向量的减法 [学习目标] 1.理解相反向量的含义,能用相反向量说出向量相减的意义.2.掌握向量减法的运算及其几何意义,能熟练地进行向量的加减运算.3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算. 导语 上节课我们学习了向量的加法运算,掌握了进行加法运算的三角形法则和平行四边形法则,通过上节课的练习,绝大部分同学都掌握的不错.那么向量有没有减法运算呢 如何进行向量的减法运算呢 今天我们一起来学习一下! 一、向量减法的三角形法则 问题1 在初中,我们学过相反数,课本上是怎么给它定义的 互为相反数的两个数有什么性质 结合定义和性质,我们能否给出“相反向量”的定义 提示 只有符号不同的两个数叫做相反数,互为相反数的两个数的绝对值相等.由于向量既有大小,又有方向,所以我们可以从这两个角度,类比相反数的定义和性质,给出如下相反向量的定义,长度相等但方向相反的两个向量称作相反向量. 问题2 在数的运算中,减法是求两个实数的差的运算,与加法是互逆运算,其运算法则为“减去一个数等于加上这个数的相反数”,类比上面的这段话,把其中的“数”变为“向量”,上面这段话变成什么了 提示 类比上面的这段话,我们可以得到:在向量的运算中,减法是求两个向量的差的运算,与加法是互逆运算,其运算法则为“减去一个向量等于加上这个向量的相反向量”. 问题3 如果已知=a,=b,请利用向量减法与加法的转化规则,用作图的方法得到a-b. 提示 如图,作=-b,由向量减法与加法的转化规则可知a-b=a+(-b)=+,以和为邻边作平行四边形OACD,则+=,且AC与OD平行且相等.再结合相反向量的定义,在四边形OCAB中,AC与OB平行且相等,所以四边形OCAB是平行四边形,所以==a-b. 知识梳理 1.向量减法 定义 一般地,平面上任意给定两个向量a,b,如果向量x能够满足b+x=a,则称x为向量a与b的差,记作x=a-b 向量减法 的三角形 法则 在平面内任取一点O,作=a,=b,作出向量,注意到+=,因此向量就是向量a与b的差(也称为向量a与b的差向量),即-= 结论 ||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b| 2.相反向量 定义 给定一个向量,我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量.向量a的相反向量记作-a 性质 (1)零向量的始点与终点相同,所以-0=0; (2)互为相反向量的两个向量的和为0,即a+(-a)=(-a)+a=0; (3)若a+b=0,则a=-b,b=-a 3.向量减法的三角形法则 当a与b不共线时,求a-b的差可用图表示,此时向量a,b,a-b正好能构成一个三角形,因此上述求两向量差的作图方法也常称为向量减法的三角形法则. 注意点: (1)向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,就可以把减法转化为加法,即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.如a-b=a+(-b). (2)注意向量加、减运算三角形法则的区别. (3)以平行四边形ABCD的两邻边AB,AD分别表示向量=a,=b,则两条对角线表示的向量为=a+b,=b-a,=a-b,这一结论应用非常广泛,应该加强理解并记牢. 例1 如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c. 解 方法一 如图①,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,则=a+b-c. 方法二 如图②,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,连接OC,则=a+b-c. 反思感悟 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b,然后作a+(-b). (2)可以直接用向量减法的几何意义,即把两向量的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减向量的终点的向量. 跟踪训练1 如图,O为△ABC内一点,=a,=b,=c.求作: ①b+c-a; ②a-b-c. 解 ①如图1所示,以,为邻边作 OBDC,连接OD,AD,则=+=b+c, 所以b+c-a=-=. ②由①知,=b+c,如图2所示, 则a-b-c=-=. 图1 图2 二、向量加减的混合运算 例2 (1)化简:①+--; ②(++)-(--). 解 ①+--=(-)+(-)=+=. ②(++)-(--) =+-+ =+++ =+=0. (2)如图,P,Q是△ ... ...
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