6.1.4 数乘向量+向量的线性运算 [学习目标] 1.理解向量的数乘运算及其几何意义.2.会利用向量共线判断三点共线及线线平行. 导语 实数的运算中,3个5相加,我们可以写成5+5+5,也可以用乘法表示成5×3;3个a相加,我们可以写成a+a+a,也可以用乘法表示成3a;在向量的运算中,3个a相加,我们可以写成a+a+a,能不能写成3a 这就是我们今天要研究的向量的数乘运算. 一、数乘向量 问题1 如图,已知非零向量a,作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).类比数的乘法,该如何表示运算结果 它们的长度和方向分别是怎样的 提示 =++=a+a+a=3a. =++=(-a)+(-a)+(-a)=-3a. 显然3a的方向与a的方向相同,3a的长度是a的长度的3倍,-3a的方向与a的方向相反,-3a的长度是a的长度的3倍. 知识梳理 1.定义:一般地,给定一个实数λ与任意一个向量a,规定它们的乘积是一个向量,记作λa,其中: (1)当λ≠0且a≠0时,λa的模为|λ||a|,而且λa的方向如下: ①当λ>0时,与a的方向相同; ②当λ<0时,与a的方向相反. (2)当λ=0或a=0时,λa=0. 2.数乘向量的几何意义:把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小. 3.当λ和μ都是实数,且a是向量时:μa是向量,λ(μa)也是向量;λμ是实数,但(λμ)a是向量,可以看出λ(μa)=(λμ)a. 注意点: (1)数乘向量与实数的乘法的区别,前者的结果是一个向量,后者的结果是一个实数.特别注意λ=0时,λa=0,此处最容易出现的错误是将实数0与0混淆,错误地表述成λa=0. (2)要注意实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,如λ+a,λ-a是无法运算的. 例1 已知λ∈R,则下列结论正确的是 ( ) A.|λa|=λ|a| B.|λa|=|λ|a C.|λa|=|λ|·|a| D.|λa|>0 答案 C 解析 当λ<0时,|λa|=λ|a|不成立,A错误;|λa|是一个非负实数,而|λ|a是一个向量,B错误;当λ=0或a=0时,|λa|=0,D错误. 反思感悟 对于数乘运算,要认识到任意实数λ与任意向量a的乘积λa仍是向量,要明确两向量的关系,应从两方面入手,一是方向,二是大小. 跟踪训练1 (多选)已知a,b是两个非零向量,则下列说法中正确的是 ( ) A.-2a与a是共线向量,且-2a的模是a的模的两倍 B.3a与5a的方向相同,且3a的模是5a的模的 C.-2a与2a是一对相反向量 D.a-b与-(b-a)是一对相反向量 答案 ABC 解析 A中,∵-2<0, ∴-2a与a方向相反,两向量共线, 又|-2a|=2|a|,∴A正确; B中,∵3>0,∴3a与a方向相同,且|3a|=3|a|, ∵5>0,∴5a与a方向相同,且|5a|=5|a|, ∴3a与5a方向相同,且3a的模是5a的模的, ∴B正确; C中,按照相反向量的定义可以判断C正确; D中,∵-(b-a)=-b+a=a-b, ∴a-b与-(b-a)为相等的向量,∴D不正确. 二、向量的线性运算 知识梳理 1.一般地,对于实数λ与μ,以及向量a与b,有 ①λa+μa=(λ+μ)a; ②λ(a+b)=λa+λb. 2.向量的线性运算 向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算,统称为向量的线性运算. 例2 计算:(1)3(6a+b)-9; (2)-2; (3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a. 解 (1)原式=18a+3b-9a-3b=9a. (2)原式=-a-b =a+b-a-b=0. (3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c. 反思感悟 向量线性运算的基本方法 (1)类比法:向量的线性运算类似于代数多项式的运算,例如,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用. (2)方程法:向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解方程的方法求解. 跟踪训练2 若已知向量a,b满足(3a-2c)+4+(a+6b)=0,则c= . 答案 -6a-6b 解析 因为(3a-2c)+4+(a+6b) =a-c+c-4b+a+6b=2a+2b+c=0, 所以c=-2a-2b,c=-6a-6b. 三、用已知向量表示其他向量 例3 在△ABC中,点D为BC的三等分点,设向量a=,b=,用向量a,b表示= . 答案 a+b或a+b 解析 因为D为BC的三等分点, 当BD=BC时,如图1, 则=+ =+ =+(-) =+=a+b. 当BD=BC时,如图2, 则=+ =+(-) =+=a ... ...
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