6.2.2 直线上向量的坐标及其运算 [学习目标] 1.理解直线上向量坐标的含义及运算.2.能运用直线上向量的坐标公式进行相关的计算. 导语 之前我们所学的向量都是从几何的角度来进行表示的,那么是否有代数的方法可以对向量进行表示 这节课就让我们来看看向量和坐标相结合会产生什么奇妙的反应! 一、直线上向量的坐标 问题1 我们已经学过了数轴上点的坐标,如图,已知A(-1),B(2). 对应的向量用坐标如何表示呢 提示 给定一条直线AB以及这条直线上一个单位向量e,由共线向量基本定理可知,对于直线AB上的向量,一定存在唯一的实数x,使得=xe,向量的坐标就可以用x表示. 知识梳理 1.向量a的坐标:给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e,由共线向量基本定理可知,对于直线l上的任意一个向量a,一定存在唯一的实数x,使得a=xe,此时,x称为向量a的坐标. 2.直线上向量坐标的直观理解 名称 定义 数轴 在直线l上指定一点O作为原点,以e的方向为正方向,e的模为单位长度建立数轴 向量a 的坐标 对于l上的任意一个向量a,如果我们把它的始点平移到原点O,那么a的终点对应的数就是向量a的坐标 注意点: (1)x既能刻画a的模,也能刻画向量a的方向. (2)|a|=|xe|=|x||e|=|x|. ①当x>0时,a的方向与e的方向相同; ②当x=0时,a是零向量; ③当x<0时,a的方向与e的方向相反. 特别地,零向量的坐标是0. (3)向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同,当且仅当向量的始点是原点时,向量的坐标和这个向量的终点坐标才相同. 例1 已知e是直线l上的一个单位向量,向量a与b都是直线l上的向量,分别在下列条件下写出a与b的坐标: a=3e,b=-4e. 解 在直线l上指定一点O作为原点,以e的方向为正方向,e的模为单位长度建立数轴,对于l上的任意一个向量a,b,把它们的始点平移到原点O,如图,因为a=3e,所以a的终点对应3,a的坐标为3;因为b=-4e,所以b的终点对应-4,b的坐标为-4. 反思感悟 直线上向量的坐标的求法 (1)将向量用单位向量表示出来. (2)将向量的始点平移到原点,读出终点的坐标. (3)已知两点求向量的坐标时,用终点坐标减去起点坐标. 跟踪训练1 (1)若e是直线l上的一个单位向量,这条直线上的向量a=-e,则 ( ) A.向量a的坐标为 B.向量a的坐标为e C.向量a的坐标为- D.向量a的坐标为-e 答案 C 解析 根据直线上向量坐标的定义知,向量a的坐标为-. (2)如图所示,直线上向量a,b的坐标分别为 ( ) A.-2,4 B.2,4 C.4,-2 D.-4,-2 答案 C 解析 向量a的始点在原点,则a的坐标为4,把向量b的始点平移到原点,则b的坐标为-2. 二、直线上向量的运算与坐标的关系 问题2 你能表示出直线上两个向量和的坐标吗 提示 设直线上两个向量分别为a=x1e,b=x2e,则a+b=x1e+x2e=(x1+x2)e. 知识梳理 直线上向量的坐标运算 法则(或公式) 文字语言 符号语言 直线上两个向量相等 直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等 设a=x1e,b=x2e, 则a=b x1=x2 直线上两个向量和的坐标 直线上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和 设a=x1e,b=x2e, 则a+b=(x1+x2)e 例2 直线上向量a的坐标为5,b的坐标为-,求下列向量的坐标: (1)-3b;(2)a-b;(3)2a+3b;(4)-a-6b. 解 (1)-3b的坐标为(-3)×=1. (2)a-b的坐标为5-=. (3)2a+3b的坐标为2×5+3×=9. (4)-a-6b的坐标为-5-6×=-3. 反思感悟 向量的坐标运算可完全类比实数的运算进行. 跟踪训练2 已知直线上的向量a与向量b,向量a的坐标为-10,向量2a-3b的坐标为4,求: (1)向量b的坐标; (2)a+2b的坐标. 解 (1)设直线上向量b的坐标为x, 由题意可得2×(-10)-3x=4, 解得x=-8,即向量b的坐标为-8. (2)a+2b=-10+2×(-8)=-26, 所以a+2b的坐标为-26. 三、数轴上两点间的距离、中点坐标 问题3 设A(x1),B(x2)是数轴上两点,O为坐标原点,A与B两点间的距离如何表示 AB的中点如何表示 提示 AB=| ... ...
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