6.2.3 平面向量的坐标及其运算（教案+学案）高中数学 人教B版 必修第二册

6.2.3　平面向量的坐标及其运算 [学习目标]　1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.2.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 导语　 我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.那么,如何用坐标表示直角坐标平面内的一个向量呢 一、平面向量的坐标表示 问题1　如图,在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a,可以用{i,j}表示成什么 提示　由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj. 知识梳理 1.向量垂直 平面上的两个非零向量a与b,如果它们所在的直线互相垂直,我们就称向量a与b垂直,记作a⊥b.规定零向量与任意向量都垂直. 2.正交基底 如果平面向量的基底{e1,e2}中,e1⊥e2,就称这组基底为正交基底;在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解. 3.向量的坐标 一般地,给定平面内两个相互垂直的单位向量e1,e2,对于平面内的向量a,如果a=xe1+ye2,则称(x,y)为向量a的坐标,记作a=(x,y). 注意点: 求平面上向量的坐标,可以选择如下两种方法中的任何一种: (1)将向量用单位向量e1,e2表示出来; (2)将向量的始点平移到原点,读出终点的坐标. 例1　如图,在平面直角坐标系xOy中,已知OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,=a,=b,四边形OABC为平行四边形. (1)求向量a,b的坐标; (2)求向量的坐标. 解　(1)如图,作AM⊥x轴于点M, 则OM=OA·cos 45°=4×=2, AM=OA·sin 45°=4×=2, 所以A(2,2),故a=(2,2). 因为∠AOC=180°-105°=75°,∠AOy=45°, 所以∠COy=30°.又OC=AB=3, 所以C,所以==, 即b=. (2)=-=. 反思感悟　求一个向量的坐标,可以把该向量进行正交分解,在相应的直角三角形内求向量的长度,从而求出对应的坐标. 跟踪训练1　已知O是坐标原点,点A在第一象限,||=4,∠xOA=60°,求向量的坐标. 解　设点A(x,y),则x=||cos 60°=4cos 60°=2,y=||sin 60°=4sin 60°=6, 即A(2,6),所以=(2,6). 二、平面上向量的运算与坐标的关系 问题2　已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b的坐标吗 提示　a+b=(x1e1+y1e2)+(x2e1+y2e2)=(x1+x2)e1+(y1+y2)e2,即a+b=(x1+x2,y1+y2).同理可得a-b=(x1-x2,y1-y2). 问题3　已知a=(x,y),你能得出λa的坐标吗 提示　λa=λ(xe1+ye2)=λxe1+λye2,即λa=(λx,λy). 问题4　如图,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎样求的坐标 提示　=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1). 知识梳理 向量的加、减法 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),即两个向量和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差 数乘向量 若a=(x,y),λ∈R,则λa=(λx,λy),即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积 向量的数乘、 加、减混合运算 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),u,v∈R,则ua±vb=(ux1±vx2,uy1±vy2) 向量的模 若a=(x,y),则|a|= 例2　(1)已知向量a,b的坐标分别是(-1,2),(3,-5),求a+b,a-b,3a,2a+3b的坐标; 解　a+b=(-1,2)+(3,-5)=(2,-3), a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-4,7), 3a=3(-1,2)=(-3,6), 2a+3b=2(-1,2)+3(3,-5)=(-2,4)+(9,-15)=(7,-11). (2)已知点A(-1,2),B(2,8),且=,=-,求点C,D和的坐标. 解　设C(x1,y1),D(x2,y2), 由题意可得=(x1+1,y1-2),=(3,6), =(-1-x2,2-y2),=(-3,-6). ∵=,=-, ∴(x1+1,y1-2)=(3,6)=(1,2), (-1-x2,2-y2)=-(-3,-6)=(1,2), 则有和 解得和 ∴点C,D的坐标分别为(0,4)和(-2,0), ∴=(-2,-4). 反思感悟　平面向量坐标的线性运算的方法 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及数乘向量的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行. 跟踪训练2　(1)已 ... ...