5.5.1 第四课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式 高中数学人教A版必修第一册（课件+教案+学案+练习四份打包）

第四课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式 课标要求　1.会从两角和与差的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式. 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形应用. 【引入】 同学们，唐代诗人王维曾写出“独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲”，一个“倍”字道出了思念亲人的急迫心情，这里的“倍”何止二倍、三倍，更是百倍、千倍，就像大家期盼寒假一样的心情，同学们，让我们加倍努力，期待我们的成绩加倍提高，说不定，寒假时，你们的父母会对你们有加倍的奖励哦，今天，就让我们共同探究三角函数中的“二倍”关系. 一、二倍角的正弦、余弦、正切公式 探究 在两角和的正弦、余弦、正切公式中，若令α＝β，你能得出什么结论？ 提示　sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α，tan 2α＝. 【知识梳理】 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 公式 简记 正弦 sin 2α＝2sin__αcos__α S2α 余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α C2α 正切 tan 2α＝ T2α 2.常用的二倍角公式的变形： (1)1＋cos 2α＝2cos2α；(2)1－cos 2α＝2sin2α； (3)cos α＝；(4)1±sin 2α＝(sin__α±cos__α)2. 温馨提示　(1)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的. (2)正切二倍角的范围：α≠＋且α≠kπ＋，k∈Z. 例1 (链接教材P223练习T5)求下列各式的值： (1)sin2－cos2＝_____. (2)＝_____. (3)cos 20°·cos 40°·cos 80°＝_____. 答案　(1)　(2)－　(3) 解析　(1)原式＝－ ＝－cos ＝－cos＝cos ＝. (2)原式＝×＝tan(2×255°) ＝tan(360°＋150°)＝tan 150°＝－tan 30°＝－. (3)原式＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80° ＝·sin 40°cos 40°cos 80° ＝sin 80°cos 80°＝·sin 160°＝＝. 思维升华　1.注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系，灵活正用或逆用二倍角公式. 2.掌握二倍角公式S2α，C2α，T2α中名称和结构的特点，如系数、次数等.并结合诱导公式恰当变换函数名称，灵活处理系数，构造二倍角公式的形式. 训练1 (1)2cos2930°－1＝(　　) A. B.－ C. D.－ (2)tan 15°＋＝_____. 答案　(1)A　(2)4 解析　(1)原式＝cos(2×930°)＝cos(5×360°＋60°)＝cos 60°＝. (2)原式＝＋＝＝＝＝4. 二、给值求值 例2 (1)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝(　　) A. B. C.1 D. (2)已知sin＝，0<α<，则的值为_____. 答案　(1)A　(2) 解析　(1)原式＝cos2α＋4sin αcos α＝＝＝. (2)∵0<α<，sin＝， ∴－α∈，cos＝， ∴原式＝＝＝2sin＝2cos ＝2cos＝. 思维升华　解决给值求值问题的方法 (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系. (2)当遇到±α这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论进行转化. 训练2 (链接教材P222例6)已知<α<π，sin α＝. (1)求tan 2α的值； (2)求cos的值. 解　(1)∵<α<π，且sin α＝， ∴cos α＝－＝－， 则tan α＝－. 故tan 2α＝＝＝. (2)∵cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－， sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－， ∴cos＝cos 2αcos＋sin 2αsin ＝－×＋×＝－. 三、倍角公式的综合运用 例3 已知△ABC的三个内角为A，B，C，f(B)＝4cos Bsin2＋cos 2B－2cos B. (1)若f(B)＝2，求B的大小； (2)若f(B)－m>2恒成立，求实数m的取值范围. 解　(1)f(B)＝4cos B·＋cos 2B－2cos B ＝2cos B(1＋sin B)＋cos 2B－2cos B ＝2cos Bsin B＋cos 2B ＝sin 2B＋cos 2B＝2sin. 因为f(B)＝2，所以2si ... ...