5.5.2 第一课时 简单的三角恒等变换 高中数学人教A版必修第一册（课件+教案+学案+练习四份打包）

5.5.2　简单的三角恒等变换 第一课时　简单的三角恒等变换 课标要求　1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想. 2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明. 【引入】 三角函数的化简、求值、证明都离不开三角恒等变换.前面我们学习了两角和与差的正弦、余弦与正切公式，二倍角的正弦、余弦与正切公式.这样就有了进行三角变换的新工具，从而使得三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活. 一、半角公式 探究 我们知道在倍角公式中，“倍角是相对的”，对余弦的二倍角公式，思考下面问题： (1)如何用cos 2α表示sin2α，cos2α，tan2α？ 提示　sin2α＝(1－cos 2α)， cos2α＝(1＋cos 2α)，tan2α＝. (2)如何用cos α表示sin2，cos2，tan2？ 提示　在上述问题(1)中，以角“”代替“α”，可得sin2＝(1－cos α)，cos2＝(1＋cos α)，tan2＝. 【知识梳理】 1.半角公式 sin＝±，cos＝±， tan＝±(无理形式). 以上称之为半角公式，符号由所在的象限决定. 2.tan＝＝. 温馨提示　公式中的正负号不能直接去掉，要根据所在范围选用符号. 例1 (链接教材P225例7)已知sin α＝－，π<α<，求sin ，cos ，tan 的值. 解　∵π<α<，sin α＝－， ∴cos α＝－，且<<， ∴sin ＝＝， cos ＝－＝－， tan ＝＝－2. 思维升华　1.已知θ的某个三角函数值，求关于的三角函数值的步骤： (1)根据θ的取值范围，利用同角三角函数的基本关系式求得θ的其他三角函数值； (2)注意的取值范围，代入半角公式计算. 2.注意公式的选取：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算. 训练1 已知cos α＝，且α是第四象限角，则tan ＝_____. 答案　－ 解析　∵cos α＝，且α是第四象限角， ∴sin α＝－＝－， 则tan ＝＝＝－. 二、三角函数式的化简 例2 已知π<α<，化简：. 解　由π<α<，得<<， 所以cos<0，sin>0. 故原式＝＝＝－＝－sin. 思维升华　化简问题中的“三变” (1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式. (2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切. (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等. 训练2 化简：. 解　原式＝＝ ＝＝＝tan 2α. 三、三角函数式的证明 例3 (链接教材P226T1)求证：tan－tan＝. 证明　左边＝tan－tan＝－ ＝＝＝ ＝＝＝右边. ∴原等式成立. 思维升华　1.通过观察分析等式两端的结构，从两端角的差异、三角函数名称及结构的差异入手，寻求证明途径. 2.常用方法：(1)一般是由繁到简，执果索因；(2)左右归一，或消除等式两端的差异，达到形式上的统一. 训练3 求证：＝sin 2α. 证明　法一　左边＝＝＝ ＝＝cos αsincos ＝sin αcos α＝sin 2α＝右边， 所以原等式成立. 法二　左边＝＝cos2α·＝cos2αtan α＝cos αsin α ＝sin 2α＝右边. 所以原等式成立. 【课堂达标】 1.(链接教材P226练习T2)若cos α＝，α∈(0，π)，则cos的值为(　　) A. B.－ C. D.－ 答案　C 解析　由题意知∈， 所以cos>0，cos＝＝. 2.已知sin θ＝－，3π<θ<π，则tan的值为(　　) A.3 B.－3 C. D.－ 答案　B 解析　∵3π<θ<，sin θ＝－， ∴cos θ＝－，tan＝＝－3. 3.若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ＝_____. 答案　 解析　由θ∈可得2θ∈， 易得cos 2θ＝－＝－， ∴sin θ＝＝. 4.已知sin－cos＝－，450°<α<540°，则tan＝_____. 答案　2 解析　由题设，得＝， 则1－sin α＝，所以sin α＝， 因为450°<α<540°，所以cos α＝－， ... ...