人教A版高中数学选择性必修第一册 1.3.2 空间向量运算的坐标表示（课件+学案+分层作业）

(课件网) 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 第一章 空间向量与立体几何 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 [学习目标]　1．掌握空间向量运算的坐标表示．(数学运算) 2．掌握空间两点间的距离公式，并会用向量的坐标解决一些简单的几何问题．(数学运算、逻辑推理) 整体感知 (教师用书) 　　在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上，在其中一个秤盘中放入质量为1 kg的物品，在另一个秤盘中放入质量为1 kg的砝码，天平平衡．3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力(拉力分别为F1，F2，F3)，若3根细绳两两之间的夹角均为．若不考虑秤盘和细绳本身的质量，你知道F1，F2，F3的大小分别是多少吗？ [讨论交流]　 问题1．如何用坐标来表示空间向量的运算？ 问题2．如何用坐标来表示空间向量平行和垂直的条件、模和夹角的计算公式？ 问题3．空间两点间的距离公式是什么？ [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　空间向量的坐标运算 探究问题1　设平面向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a＋b，a－b，λa，a·b的运算结果分别是什么？ 探究建构 [提示]　a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)；a－b＝(a1－b1，a2－b2)；λa＝(λa1，λa2)；a·b＝a1b1＋a2b2． 探究问题2　你能由平面向量运算的坐标表示类比得出空间向量运算的坐标表示吗？若能，请尝试证明． [提示]　设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3．证明如下：设{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，则a＝a1i＋a2 j＋a3k，b＝b1i＋b2 j＋b3k，所以a±b＝(a1±b1)i＋(a2±b2) j＋(a3±b3)k＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)， λa＝λ(a1i＋a2 j＋a3k)＝λa1i＋λa2 j＋λa3k＝(λa1，λa2，λa3)， a·b＝(a1i＋a2 j＋a3k)·(b1i＋b2 j＋b3k)＝a1b1＋a2b2＋a3b3 (由数量积的分配律及i·i＝j·j＝k·k＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0得)． [新知生成] 1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa (λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 2．设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝_____. 即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标_____起点坐标． 减去 (x2－x1，y2－y1，z2－z1) 【教用·微提醒】　(1)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2． (2)向量线性运算的结果仍是向量；数量积的结果为数量． [典例讲评]　1．(1)已知两个向量a＝(－1，0，1)，b＝(－2，1，1)，则a＋2b＝_____． (2)已知点A(0，1，0)，点B(2，3，2)，向量＝，则点C的坐标为_____． (1)(－5，2，3)　(2)(1，2，1)　[(1)2b＝(－4，2，2)，a＋2b＝(－1－4，0＋2，1＋2)＝(－5，2，3)． (2)设C(x，y，z)，则＝(x，y－1，z)，而＝(2，2，2)＝(1，1，1)，故x＝1，y＝2，z＝1，故点C的坐标为(1，2，1)．] (－5，2，3) (1，2，1) 反思领悟　空间向量坐标运算的规律 (1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定． (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算． (3)由条件求向量或点的坐标：把向量或点的坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标． [学以致用]　1．在△ABC中，A(2，－5，3)，＝(4，1，2)，＝(3，－2，5)． (1)求顶点B，C的坐标； (2)求·； (3)若点P在AC上，且＝，求点P的坐标． [解]　(1)设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，所以＝(x－2，y＋5，z－3)，＝(x1－x，y1－ ... ...