2.5 从力的做功到向量的数量积 同步练习（含解析）——2024-2025学年高一数学北师大版2019必修第二册同步课时训练

从力的做功到向量的数量积———2024-2025学年高一数学北师大版2019必修第二册同步课时训练 一、单选题 1．已知平面向量，，满足，且，则的最大值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．若，是夹角为60°的两个单位向量，则向量与的夹角为（ ） A．30° B．60° C．90° D．120° 3．向量，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则（ ） A． B． C．3 D． 4．已知向量，若，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 5．已知 为非零向量，则“”是“为锐角”的（ ）条件 A．充要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 6．已知向量、满足，，且与夹角的余弦值为，则（ ） A．1 B． C．2 D． 7．手表的表面在一平面上，整点1，2，3，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上．从整点到整点的向量记作，则（ ）． A． B． C． D． 8．下列命题中正确的是（ ） A．对空间任意一点，不共线的三点，若（其中为实数），则四点共面 B．若，则存在唯一的实数，使 C．若空间向量，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为 D．若向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为 二、多选题 9．已知向量，，满足，，，设，的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 10．已知向量，则下列说法正确的有（ ） A．当且仅当时， B．存在，使得 C．存在，使得 D．向量在向量上的投影向量是向量 11．已知等边 的边长是1，G是其重心，D为BC边上一点，且，则能得到（ ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知向量，，，且，则 ． 13．设向量，，若，则实数的值为 ． 14．已知实数、满足（），则的取值范围是 . 四、解答题 15．已知，记在方向上的投影向量为． (1)求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 16．已知，，. (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值. 17．设、是互相垂直的单位向量，向量，．求． 18．已知向量； (1)求与的夹角； (2)求． 19．已知向量，，．求，． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C D B D B C BC ACD 题号 11 答案 ABD 1．D 【解题思路】根据数量积可求出向量与的夹角，然后利用坐标法求解即可. 解：设与的夹角为，， 因为，所以，所以， 设，，设，则，， 由，得，即， 所以，所以，所以的最大值为. 故选：D 2．D 【解题思路】根据向量数量积、模、夹角的计算求得正确答案. 解：， ， ， 由于向量夹角的取值范围是， 所以向量与的夹角为120°. 故选：D 3．C 【解题思路】由图可知，，，根据数量积公式即可求解. 解：由图可知，，，， 所以， 故选：C 4．D 【解题思路】先求得坐标，根据两向量垂直，可得，代入计算，即可得答案. 解：由题意得 因为， 所以， 解得. 故选：D 5．B 【解题思路】根据向量数量积的定义及充分条件和必要条件的定义即可求解. 解：解：依题意，若，，可得，不一定是锐角， 若为锐角，即，可得， 所以 为非零向量，则“”是“为锐角”的必要不充分条件， 故选：B. 6．D 【解题思路】利用平面向量数量积以及夹角代入计算即可求得. 解：根据题意可得， 则可得， 所以. 故选：D 7．B 【解题思路】依题意连接相邻刻度的线段构成半径为的圆内接正十二边形，得到相邻两向量的夹角为，利用锐角三角函数求出向量的模，最后根据数量积的定义计算可得. 解： 连接相邻刻度的线段构成半径为的圆内接正十二边形， 相邻两个边向量的夹角即为正十二边形外角，即为． 各边向量的模长为， 则， 共有个相等项，所以． 故选：B 8．C 【解题思路】选项A用向量共面的基本定理判断；选项B用向量共线的基本定理判断；选项C用投影向量计算；选项D用向量夹角的余弦判断，需注意共线反向的情况. 解：对于A，若平面，则不共面，由空间向量基本定理可知，为空间任意一点，所以四点不一定共面，故A错误； ... ...