强基计划专题练02 函数与导数（原卷版+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题训练02 函数与导数 一、单选题 1．设函数，则（ ） A．函数有且仅有一个零点 B．对，，函数有且仅有一个零点 C．，恒成立 D．，恒成立 【答案】D 【分析】由，得，令，令，求出函数的最值，即可得的范围，进而可判断A；根据，分析即可判断B；利用极限思想即可判断C；取，，令，利用导数求出函数的最值，即可得，再利用防锁思想即可判断D. 【详解】对于A，， 则， 令， 令，则， 令，则， 当时，，函数递减， 当时，，函数递增， 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以，所以，所以， 则， 所以函数在上有零点， 所以在上有无数个零点， 即函数在上有无数个零点，故A错误； 对于B，， 又，所以， 所以存在，使得函数有两个交点， 即存在，使得函数有个零点，故B错误； 对于C，当时，，则， 所以当时，， 所以不存在，恒成立，故C错误； 对于D，取，， 令，则， 所以函数在上递增， 所以， 即，所以， 所以， 即， 故可取，恒成立，故D正确. 故选：D. 【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决． 2．已知直线与函数的图象恰有两个切点，设满足条件的所有可能取值中最大的两个值分别为和，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据结论恒成立可只考虑的情况，假设切点坐标，则只需考虑，，其中的情况，可将表示为；构造函数，，利用导数可求得的单调性，从而对进行放缩即可求得所求范围. 【详解】对于任意，，，的范围恒定， 只需考虑的情况， 设对应的切点为，，， 设对应的切点为，，， ，，， 只需考虑，，其中的情况， 则， ，其中， ； 又，， ，； 令，则， 在上单调递增，又， ，又，， ； 令，则， 令，则， 在上单调递增， ， 即，在上单调递减，， ，； 综上所述：. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数与三角函数综合应用问题，解题关键是能够采用特殊值的方式，考虑不含变量的函数的情况，采用构造函数的方式对所求式子进行放缩，从而求得的范围. 3．已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于，则下列说法中正确的是（ ） A． B． C．数列是递增数列 D． 【答案】D 【分析】的极值点为的变号零点，即为函数与函数图像在交点的横坐标.将两函数图像画在同一坐标系下.A选项，利用零点存在性定理及图像可判断选项；BC选项，由图像可判断选项；D选项，注意到，由图像可得单调性，后可判断选项. 【详解】解：的极值点为在上的变号零点. 即为函数与函数图像在交点的横坐标. 又注意到时，，时，， ，时，. 据此可将两函数图像画在同一坐标系中，如下图所示. A选项，注意到时，，，. 结合图像可知当，. 当，.故A错误； B选项，由图像可知，则，故B错误； C选项，表示两点与间距离，由图像可知， 随着n的增大，两点间距离越来越近，即为递减数列，故C错误； D选项，由A选项分析可知，， 又结合图像可知，当时，，即此时， 得在上单调递增， 则，故D正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题涉及函数的极值点，因函数本身通过求导难以求得单调性，故将两相关函数画在同一坐标系下，利用图像解决问题. 4．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量所有可能的取值为，且，，定义的信息熵，若，随机变量所有可能的取值为，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数的运算和作差法，随机变量的创新应用即可判断. 【详解】依题意知，，，，…，， ∴， 又， ∴，又，，…，， ∴，∴. 故选：D. 5．设定义在R上的函数与的导函数分别为和．若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ） A． B． C．， D ... ...