中小学教育资源及组卷应用平台 专题训练07 立体几何 一、单选题 1．设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4、5、6的直线，给出下列三个结论： ①存在使得是直角三角形； ②存在使得是等边三角形； ③三条直线上存在四点使得四面体为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体，其中，所有正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题利用画图结合运动变化的思想进行分析．我们不妨先将 A、B、C 按如图所示放置，容易看出此时 BC＜AB＝AC．现在，我们将 A 和 B 往上移，并且总保持 AB＝AC（这是可以做到的，只要 A、B 的速度满足一定关系），而当A、B 移得很高很高时，就得到①和②都是正确的；至于③，结合条件利用反证法的思想方法进行说明即可. 【详解】如图，我们不妨先将 A、B、C按如图所示放置， 容易看出此时， 故，又， 故， 现在，将A和B往上移，并且总保持AB＝AC（这是可以做到的，只要A、B的速度满足一定关系）， 而当A、B 移得很高很高时，不难想象将会变得很扁，也就是会变成 “非常钝”的一个等腰钝角三角形，即， 于是，在移动过程中，从小于到大于的变边过程中， 总有一刻，，同时，故此时为等边三角形， 亦总有另一刻，，此时为直角三角形（而且还是等腰的）． 这样，就得到①和②都是正确的． 至于③，如图所示．为方便书写，称三条两两垂直的棱所公共顶点为共垂点． 假设A是共垂点， 那么由，，面， 得面，即面，进而面，面， 从而三边的长就是三条直线的距离4、5、6，又由于，所以不是直角三角形，这与矛盾，假设不成立； 同理可知，D是共垂点时也矛盾； 假设C是共垂点， 那么由，，面，得面， 而，面，面，故面，故， 又，故，从而BC为l1与l2的距离，于是， 同理，又，故，矛盾，假设不成立； 同理可知，B是共垂点时也矛盾； 综上，不存在四点A（i＝1，2，3，4），使得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体． 故选：C． . 【点睛】本题考查命题真假的判断解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 2．如图，斜三棱柱中，底面是正三角形，分别是侧棱上的点，且，设直线与平面所成的角分别为，平面与底面所成的锐二面角为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先在图中作出直线与平面所成的角，平面与底面所成的锐二面角，可得，同理得，再由和差化积公式得到，即可判断A、C选项；再通过三角恒等变换得到，进而得到，即，即可判断B、D选项. 【详解】 如图：延长EF，AB交于M，延长EG，AC交于N，延长FG，BC交于D，易得MN为平面ABC和平面EFG的交线， 又D在平面ABC和平面EFG上，则D在直线MN上，即M，N，D三点共线，由外角定理可得. 过A作面EFG，垂足为P，过A作，垂足为Q，连接，易得即为直线与平面所成的角， 则，又面EFG，面EFG，则，又，面，， 所以面，面，则，则即为平面与底面所成的锐二面角，则， 又，则，同理可得，则， 又由， ， 则， 故，A，C错误； 故，由可知，所以， 即，整理可得， 即，即， 故，又，故，B正确，D错误. 故选：B. 二、多选题 3．如图，圆柱的底面半径和母线长均为是底面直径，点在圆上且，点在母线，点是上底面的一个动点，则（ ） A．存在唯一的点，使得 B．若，则点的轨迹长为4 C．若，则四面体的外接球的表面积为 D．若，则点的轨迹长为 【答案】ACD 【分析】对选项A：作E关于D点的对称点为，利用对称性与三点共线距离最短求解；对选项BD：建立空间直角坐标系，根据F满足的条件判断其轨迹，求其长度；对选项C：证明AE中点Q为四面体的外接球的球心即可. 【详解】 设E关于D点的对称点为， 则， 所以当且仅当三点共线时取等号， 故存在唯一的点，使得，故A正确； 由题意知，以O为坐标原点，以为正方向建立空间直角坐 ... ...
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