同步检测23 幂函数 1．下列函数是幂函数且在(－∞，0)是增函数的是( ) A．y＝ B．y＝x3＋1 C．y＝x－2 D．y＝ 答案：C 解析：由幂函数的概念可以排除B、D选项， 而y＝在(－∞，0)上是减函数，y＝x－2在(－∞，0)上是增函数，故选C. 2．[2024·河南新乡高一月考]“a＝1”是“f(x)＝a4xa是幂函数”的( ) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：令a4＝1，得a＝±1， 故“a＝1”是“f(x)＝a4xa是幂函数”的充分不必要条件． 3．[2024·湖北荆州高一月考]已知幂函数 f(x)＝xα，且f(2)＝8f(1)，则α＝( ) A．－2 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：因为f(x)＝xα，且f(2)＝8f(1)，即2α＝8×1α，解得α＝3. 4．已知幂函数y＝(m2－m－1)xm(m∈R)的图象不经过第二象限，则m＝( ) A．2 B．－2或1 C．－1或2 D．－1 答案：D 解析：因为y＝(m2－m－1)xm是幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2， 当m＝－1时，y＝x－1＝，显然其图象不经过第二象限，满足题意； 当m＝2时，y＝x2，其图象经过第二象限，不满足题意． 综上，m＝－1. 5．[2024·河北沧州高一模拟]已知幂函数f(x)的图象经过点(3，)，则函数g(x)＝(x－1)f(x)在区间[1，3]上的最大值是( ) A．2 B．1 C． D．0 答案：C 解析：设f(x)＝xα，∴3α＝，∴α＝－2，∴f(x)＝x－2， ∴g(x)＝(x－1)·x－2＝－()2＋， 令t＝∈， 由于y＝－t2＋t在区间上单调递增，在上单调递减， ∴(－t2＋t)max＝－()2＋＝， ∴g(x)在区间[1，3]上的最大值是. 6．(多选)下列关于幂函数y＝xa的性质，描述不正确的有( ) A．当a＝－1时，函数在其定义域上为减函数 B．当a＝0时，函数不是幂函数 C．当a＝2时，函数是偶函数 D．当a＝3时，函数与x轴有且只有一个交点 答案：AB 解析：A：由y＝x－1在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，但整个定义域上不单调，故A错；B：根据幂函数定义y＝x0也是幂函数，故B错；C：由y＝x2，显然(－x)2＝x2且定义域为R，故为偶函数，故C对；D：由y＝x3单调递增，仅当x＝0时y＝0，故与x轴有且只有一个交点，故D对． 7．(多选)[2024·河北邢台高一模拟]已知幂函数f(x)满足f()＝5，则( ) A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x2 C．f(x)的图象经过原点 D．f(x)的图象不经过第二象限 答案：ACD 解析：设幂函数f(x)＝xa，根据题意可得5＝()a，解得a＝3，则f(x)＝x3， f(x)的图象如图所示： 则f(x)的图象经过原点，不经过第二象限． 8．[2024·江苏常州高一月考]写出一个在区间(0，＋∞)上单调递增且为奇函数的幂函数：f(x)＝_____． 答案：f(x)＝x3(答案不唯一，写一个即可) 解析：因为幂函数在区间(0，＋∞)上单调递增且为奇函数，所以幂函数可以为f(x)＝x3. 9．[2024·湖南常德高一月考]若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)xm－2在(0，＋∞)上单调递增，则m＝_____． 答案：3 解析：因为f(x)＝(m2－4m＋4)xm－2是幂函数， 所以m2－4m＋4＝1，解得m＝3或m＝1， 当m＝3时，f(x)＝x，显然f(x)在(0，＋∞)上单调递增，满足题意； 当m＝1时，f(x)＝x－1，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不满足题意． 所以m＝3. 10．(13分)已知点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(2，)在幂函数g(x)的图象上． (1)求出幂函数f(x)及g(x)的解析式； (2)在同一坐标系中画出f(x)及g(x)的图象； (3)观察(2)中的图象，写出当f(x)>g(x)时，x的取值范围(不用说明理由). 答案：(1)设f(x)＝xα，g(x)＝xβ，由题设2＝()α，＝2β，解得α＝2，β＝－1， 所以f(x)＝x2，g(x)＝. (2)图象如图所示， (3)由图象知：当f(x)>g(x)时，x<0或x>1. 11.(5分)[2024·湖北武汉高一月考]若幂函数f(x)＝ 为偶函数，则不等式f(2x－1)>f(x＋3)的解集为_____． ... ...
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