重难点33 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题（新高考专用）（含解析） 2025年高考数学一轮复习题型专练（新高考专用）

中小学教育资源及组卷应用平台 重难点33 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题【八大题型】 【新高考专用】 【题型1 直线过定点问题】 2 【题型2 存在定点满足某条件问题】 7 【题型3 面积定值问题】 13 【题型4 斜率的和差商积定值问题】 19 【题型5 向量数量积定值问题】 24 【题型6 线段定值问题】 29 【题型7 角度定值问题】 34 【题型8 动点在定直线上问题】 42 1、圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，此类问题考查频率较高，此类问题一般有直线过定点问题、满足某条件的定点问题、定值问题以及定直线问题等，主要在解答题中考查，选择、填空题中考查较少，在解答题中考查时综合性强，难度较高. 【知识点1 圆锥曲线中的定点、定值问题】 1．圆锥曲线中的定点、定值问题 圆锥曲线中的定点定值问题一般与圆锥曲线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下： (1)变量———选择合适的参变量； (2)函数———要证明为定值的量表示出参数的函数； (3)定值———化简函数解析式，消去参数得定值. 一些存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸. 2．定点问题的求解思路： 一是从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关； 二是直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点. 3．过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； (2)动曲线C过定点问题 解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 4．定值问题的求解思路： 将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关. 5．求解定值问题的三个步骤 (1)由特例得出一个值，此值一般就是定值； (2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； (3)得出结论． 【知识点2 圆锥曲线中的定直线问题】 1．圆锥曲线中的定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程； (2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数； (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证. 【题型1 直线过定点问题】 【例1】（2024·河南周口·模拟预测）已知椭圆的焦距为2，不经过坐标原点且斜率为1的直线与交于P，Q两点，为线段PQ的中点，直线的斜率为. (1)求椭圆的方程； (2)设，直线PB与的另一个交点为，直线QB与的另一个交点为，其中，均不为椭圆的顶点，证明：直线MN过定点. 【解题思路】（1）根据焦距求出，再设，，，利用点差法得到，即，从而求出、，即可得解； （2）设直线的方程为，，，表示直线的方程，联立直线与椭圆方程，消元求出，即可求出点坐标，同理得到点坐标，根据的斜率为得到，即可求出直线过定点坐标. 【解答过程】（1）由椭圆的焦距为得，，则. 设，，，则，， 两式作差得，， 所以，即， 所以，所以， 所以，则，解得，. 故椭圆的方程为. （2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，，， 则，直线的方程为， 将其代入得，，显然， 则，所以， 将代入直线的方程，解得， 所以，同理 ... ...