2024-2025学年度上学期10月份月考 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每个小题有且只有一个正确选项，每小题5分，共40分） 1．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．若，则（ ） A． B． C． D． 3．已知为等比数列的前项和，，为常数列，则（ ） A．是的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件 C．是充要条件 D．是的既不充分也不必要条件 4．已知锐角，满足，，则与的大小关系为（ ） A． B． C． D． 5．在等差数列中，若，则下列说法错误的是（ ） A． B． C．的最大值为45 D．满足的的最大值为19 6．已知，，则（ ） A． B． C． D． 7．已知函数的部分图象如图所示，，，，则（ ） A．4 B． C． D． 8．已知函数的值域为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，每个小题漏选2或3分或4分，有错选不得分，共18分） 9．已知的解集是，则下列说法正确的是（ ） A． B．不等式的解集为 C．的最小值是4 D．当时，若，的值域是，则 10．设，其中，，则：（ ） A．相邻两个最高点之间的距离是 B． C．的单调递增区间是 D．的图象向左平移个单位长度得到的函数图象关于轴对称． 11．已知函数，则（ ） A．曲线关于点成中心对称 B．，无极值 C．若在上单调递增，则 D．若曲线与轴分别交于点，，，且在这三个点处的切线斜率分别为，，则为定值 第II卷（非选择题） 三、填空题（每个小题5分，共15分） 12．已知函数，则不等式的解集为_____． 13．已知数列满足，则的前项和_____． 14．若函数有4个零点，则正数的取值范围是_____． 四、解答题（15题13分，16、17题每小题15分，18、19题每小题17分，共77分） 15．（本小题满分13分） 已知中，角，，的对边分别为，，，．． （1）求角B． （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 16．（本小题满分15分） 设是正数组成的数列，其前项和为，已知与2的等差中项等于与2的等比中项． （1）求数列的通项公式； （2）令，求的前项和． 17．（本小题满分15分） 已知曲线在处的切线过点． （1）试求的值； （2）讨论的单调性； （3）证明：当时，． 18．（本小题满分17分） 在中，角，，所对的边分别为，，．为边上的中线，点，分别为边，上动点，交于．已知，且． （1）求边的长度； （2）若，求的余弦值； （3）在（2）的条件下，若，求的取值范围． 19．（本小题满分17分） 已知对任意正整数，均有，我们称为次切比雪夫函数． （1）若为3次切比雪夫函数，求的值． （2）已知为次切比雪夫函数，若数列满足．证明： ①数列中的每一项均为的零点； ②当时，． 2024-2025学年度上学期10月份月考 数学试卷答案 一、单选题 1-8．CABB DCAC 二、多选题 9．ACD 10．AD 11．BD． 三、填空题 12． 13． 14． 四、解答题 15．（1），由正弦定理得：， 因为，，所以，所以， 因为，所以，解得； （2）由题设， 因为为锐角三角形，所以，从而， 可得，所以，则面积的取值范围是． 16．（1）由题意，当时有，， 所以，解得：，， 整理得，由此得， 所以， 整理得，由题意知， 所以，即数列为等差数列，其中，公差， 所以． （2）令， 则， 故， 所以． 17．（1）函数，求导得，则，而，因此曲线在处的切线方程为， 即， 依题意，， 所以则． （2）由（1）知函数，其定义域为，求导得， 当时，，在上单调递减； 当时，由，得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （3）由（2）得， 要证明，即证，即证， 令，求导得， 由，得，由，得， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 因此， 即恒成立， 所以当时，． 18．（1）由已知， 由正弦定理角化边可得，． 由余弦定理角化边可得，， 整理可得， ... ...
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