3.3.1 抛物线及其标准方程 课件 （共18张PPT） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(课件网) 3.3.1 抛物线及其标准方程 学习目标 1.理解抛物线的定义、几何图形和标准方程. 2.会解决抛物线的简单应用问题. 新课导入 彩虹 生活中的抛物线 拱桥 新课讲授 用几何画板作图： 点F是定点，l是不经过F的定直线，H是l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点M，观察点M的轨迹，说出点M满足的几何条件. 点M到定点F的距离和到定直线l的距离相等. 概念讲解 平面内到一个定点F和到一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点M的轨迹叫抛物线. 定义式：|MF|=d (d为M到l的距离) 注：若直线l过点F，则点M的轨迹是过点F且与l垂直的直线. 点F叫做抛物线的焦点; 直线l叫做抛物线的准线. 准线 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，才能使所求抛物线的方程形式简单？ 取经过焦点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并以线段KF的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy. l F M H K O y x 设抛物线的焦点到准线的距离为p(p>0)，则|KF|=p，那么焦点F的坐标为 准线l的方程为 设点M(x，y)是抛物线上的任意一点，点M到准线l的距离为d，则|MF|=d. l F M H K O y x 因为 所以 将上式两边平方并化简，得 思考交流：在建立椭圆和双曲线的标准方程时，由于焦点在平面直角坐标系中的位置不同，它们各有两种形式的标准方程，你认为抛物线的标准方程一共有几种形式 请分别指出抛物线的焦点位置，并写出相应的标准方程和准线方程. 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 _____ _____ _____ _____ _____ _____ y2＝2px(p>0) F(，0) x＝－ y2＝－2px(p>0) F x＝　 归纳总结 归纳总结 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 _____ _____ _____ _____ _____ _____ x2＝2py(p>0) F(0，) y＝－　 x2＝－2py(p>0) F(0，－) y＝ 练1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程. 例1 根据下列条件确定抛物线的标准方程. (1)过点(4，-8)； (2)焦点在直线x-2y-4=0上. 解：(1)由题意，可设所求抛物线方程为y2=2px(p>0)或x2=-2p'y(p'>0). 将点(4，-8)的坐标代入y2=2px，得p=8. 将点(4，-8)的坐标代入x2=-2p'y，得p'=1. 故所求抛物线方程为y2=16x或x2=-2y. (2)焦点在直线x-2y-4=0上. (2)①令x＝0，由方程x－2y－4＝0得y＝－2， ∴抛物线的焦点坐标为(0，－2). 设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，则由＝2，得2p＝8， ∴所求抛物线的方程为x2＝－8y. ②令y＝0，由x－2y－4＝0得x＝4，∴抛物线的焦点坐标为(4，0). 设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，由＝4得2p＝16， ∴所求抛物线的方程为y2＝16x. 综上，抛物线的方程为x2＝－8y或y2＝16x. 归纳总结 求抛物线方程，先判断焦点位置，通常用待定系数法. (1)若能确定抛物线的焦点位置，则直接设出抛物线的标准方程，求出p值即可; (2)若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论. 例2 已知点M到点F(4，0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2，求点M的轨迹方程. 解：∵点M到点F(4，0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2， ∴点M到点F(4，0)的距离与它到直线l:x+4=0的距离相等. 即点M的轨迹是以F(4，0)为焦点，直线l:x+4=0为准线的抛物线，抛物线方程为y2=2px(p>0)， 则=4，即p=8. ∴点M的轨迹方程为y2=16x. 练2.(1)焦点在x轴上的抛物线上一点A(-3，m)到焦点的距离为5， 则该抛物线的标准方程为_____. (2)抛物线x =2py(p>0)上一点M的横坐标为-4，该点到准线的距离为6， 则该抛物线的标准方程为_____. y2＝-8x x2＝16y或x2＝8y 课堂总结 回顾本节课，回答下列问题： (1)抛物线的标准方程的四种形式. (2)如何求抛物线方程？ 当堂检测 1.抛物线y＝-x2的准线方程是(　　) A.x＝ B.x＝ C.y＝2 D.y＝4 2.若点P(x，y)到点F(0，2)的距离比它到直线y+4= ... ...