2024学年第一学期位育中学期中考试试卷 高三年级 数学学科 (考试时间 120分钟，总分150分 ) 一、填空题(本大题共有12题, 第1-6题每题4分, 第7-12 题每题 5分, 满分54分) 1. 已知集合A=(0,4), B=(1,5), 则A∩B= . 2. 抛物线 的准线方程为 . 3. 不等式 的解集为 . 4. 若正数a、b满足a+2b=1, 则 ab的最大值为 . 5. 已知复数 (i为虚数单位)，则 . 6. 已知 若, 则 . 7. 若不等式 对一切实数都成立，则实数的取值范围是 . 8. 已知点A(-2,3), B(1,-1), 则在 方向上的投影为 . 9. 若 则的值为 . IO. 设无穷等比数列的公比 则 11. 日常生活中，较多产品的包装盒呈长方体形状，烘焙店的包装盒如图所示，在长方体 中, AB=3 , BC=2, AA =1. 店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中 的方向捆扎包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳(不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度).则图A比图B最多节省的彩绳长度为 . 12. 已知实数x ,x ,y ,y 满足: 则 的最大值是 . 二、选择题(本大题共有4题, 第13-14题每题4分, 第15-16题每题5分, 满分18分) 13. 已知a∈R, 则“”是 的 （ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为 ( ) A. B. 15. 已知集合M={(x,y)|}, 若对于任意实数对 存在 使 成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合： ④. 其中是“垂直对点集”的序号的个数为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 数列中, 是数列的前项和, 若对任意正整数, 总存在正整数, 使得 则称数列为“P数列”，现有如下两个命题： ① 等比数列为“P数列”; ② 对任意的等差数列 ，总存在两个“P 数列”和 使得 。 则下列选项中正确的是 ( ) A. ①为假命题，②为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为真命题，②为真命题 D. ①为假命题，②为假命题 三、解答题(本大题共有5题，满分 78分) 17.(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD ，点E在底面的圆周上，点 F 在线段DE 上. (1) 求证: AF⊥BE; (2) 若点E是的中点，求直线DE与平面ABD所成角的大小. 【解析】： (1) 联结 , 则 , 又 平面 , 平面 平面 , . (2) 据题知, , 平面 平面 , 平面 平面 , 平面 是直线 与平面 所成的角. 设正方形 的边长为 , 则 . 与平面 所成角为 . 18.(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知向量 设 (1) 求函数的单调增区间; (2) 在△ABC中, 角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若的面积为, 求边a的长. 【解析】： (1) 因为 , 则 得 , 故函数 的单调增区间为 (2) 因为 , 所以 , 又 , 则 所以 , 则 , 又 , 所以 , 由余弦定理可得: 12 19.(本题满分 14分) 本题共有3 个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”。根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： 求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分位数； 独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率； 为了解该工厂职工的基本信息，从工厂中抽取了100个职工的体重数据，发现全部介于45公斤到75公斤之间，现将 100个体重数据分为6组: 第一组[45,50), 第二组[50,55), ……,第六组[70，75），得到如图所示的频率分布直方图. 其中第一组有2人, 第二组有 13 人。 求与的值. 【解析】 (1) 40 名工人完成生产任 ... ...
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