2023-2024学年陕西师大附中高二（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数，则的单调递减区间为( ) A. B. C. D. 2.已知是等差数列的前项和，且满足，，则( ) A. B. C. D. 3.已知椭圆的两个焦点分别为，，点在上，若，则( ) A. B. C. D. 4.陕西历史博物馆秦汉馆以“秦汉文明”为主题，采用“大历史小主题”展览叙述结构，将于年月日正式对公众开放届时，将有名同学到三个展厅做志愿者，每名同学只去个展厅，主展厅“秦汉文明”安排名，遗址展厅“城与陵”安排名，艺术展厅“技与美”安排名，则不同的安排方法共有( ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5.记为等比数列的前项和若，，则( ) A. B. C. D. 6.自圆：外一点引该圆的一条切线，切线长等于点到原点的长，则点的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 7.已知双曲线：的离心率为，左，右焦点分别为，，关于的一条渐近线的对称点为若，则的面积为( ) A. B. C. D. 8.已知，，，则( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知双曲线的方程为，则( ) A. 渐近线方程为 B. 焦距为 C. 离心率为 D. 焦点到渐近线的距离为 10.已知直线：，则下列命题正确的是( ) A. 直线的倾斜角是 B. 无论取何值，直线与圆相切 C. 直线的斜率一定存在 D. 当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于 11.若函数有且仅有一个极值点，则( ) A. B. C. D. 12.等比数列的各项均为正数，公比为，其前项的乘积记为若，，则( ) A. B. C. ， D. 当且仅当时， 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.已知数列的通项公式为，则的最小项的值为_____． 14.已知函数，则的值为_____． 15.已知、分别是曲线和上的点，其中是自然对数的底数，则的最小值为_____． 16.已知抛物线的准线与轴相交于点，过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，为抛物线的焦点，若，则线段的长度为_____． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 在数列中，，． 设，证明：数列是等比数列，并求的通项公式； 求数列的前项和． 18.本小题分 已知的内角的对边分别为，且． 求； 若的面积为，周长为，求． 19.本小题分 如图，和所在平面垂直，且，． 求证：； 求二面角的正弦值． 20.本小题分 已知函数． 讨论的单调性； 若有且只有两个零点，求的值． 21.本小题分 已知椭圆：经过点，离心率为． 求椭圆的标准方程； 若直线：与椭圆有两个不同的交点，，原点到直线的距离为，求的面积的最大值． 22.本小题分 已知函数． 当时，证明：有解； 若对任意：，不等式恒成立，求实数的取值范围． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.证明：由题意， 可得 ， 整理，可得， 即， ， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ，． 由可得，， 则，， ， ， 两式相减， 可得 ， ． 18.解：Ⅰ中，， ， ； 由正弦定理得， ， 即； 又，， ， 即， ， 解得； Ⅱ的面积为，周长为， ， ， ， 由余弦定理得：， 由组成方程组，可得：， 可得：， 解得：． 19.解延长至点，使得，连接， 由且，得， 所以，又，所以， 所以， 又，平面，平面平面，平面平面， 所以平面，而平面， 所以，又， 所以， 分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，所以， 所以； 由知， 设平面的一个法向量是， 则，取，得， 平面的一个法向量是， ， 所以二面角的余弦值为， 则正弦值为． 20.解：，， 当时，； 当时，恒成立； 当时，， 当时，的增区间为，，减区间为； 当时，的增区间为； 当时，的增区间为， ... ...
