2024-2025学年山东省青岛市即墨区高三（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数满足，为虚数单位，则等于( ) A. B. C. D. 2.已知向量，，且，则( ) A. B. C. D. 3.设是等差数列的前项和，若，则( ) A. B. C. D. 4.已知函数的最小正周期为，则的图象( ) A. 关于点对称 B. 关于对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 5.将，，，四个数字排成一行，可以组成不同的位数的个数是( ) A. B. C. D. 6.已知锐角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，且，则( ) A. B. C. D. 7.已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为( ) A. B. C. D. 8.已知，，，成等比数列，且，为自然对数的底数若，则( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知复数在复平面内对应的点为，则( ) A. 在第一象限 B. C. D. 的虚部为 10.已知，则( ) A. 为偶函数 B. 是的最小正周期 C. 在区间上单调递增 D. 的值域为 11.如图，平面四边形中，对角线，的交点为，的面积是面积的两倍，又数列满足，当时，，为数列的前项和，则( ) A. B. C. 是等差数列 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.的展开式的常数项是_____用数字作答 13.已知是第四象限角，且，则 ． 14.在中，若，则角的范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知． Ⅰ若，求； Ⅱ设，若，求的夹角． 16.本小题分 在中，，． 求； 若的周长为；求边上中线的长． 17.本小题分 已知函数的部分图象如图所示． Ⅰ求函数的解析式，并求出在上的值域； Ⅱ若将函数的图象向右平移个单位后所得曲线关于轴对称求的最小值． 18.本小题分 如果正项有穷数列，，，满足，，即，我们称其为“的对称数列”，例如：数列，，，与数列，，，，都是“的对称数列”． Ⅰ设是项数为的“的对称数列”，其中，，，是等差数列，且，，请依次写出的每一项； Ⅱ设数列是项的“的对称数列”，其中，是等比数列，，，求数列的所有项和的最小值； Ⅲ设数列是项的“的对称数列”，数列前项的通项公式为，求数列的前项和注： 19.本小题分 已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为的增数列： ； 对于，使得的正整数对恰有个． Ⅰ若等差数列，，，，为的增数列，求的值； Ⅱ若数列，，，为的增数列，求的最小值； Ⅲ若存在的增数列，求的最大值． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：Ⅰ由，， 可得， 由， 可得， 解得，所以； Ⅱ由，， 可得， 即 得：， 因为，所以， 所以，将代入可得： ， 因为，所以， 所以，，故，， 所以， 又，所以． 16.解：根据正弦定理由， 因为，所以，即，所以； 由可知，而，所以， 因此，由余弦定理可知：， 因为的周长为，所以有， 设边上中点为，所以， 由余弦定理可知：， 所以边上中线的长． 17.解：Ⅰ由函数的部分图象知， ，所以，即， 由，所以，即， 由解得，，满足题意； 所以函数， 时，，的最小值为， 最大值为， 所以在上的值域是； Ⅱ将函数的图象向右平移个单位， 得， 令，，解得，； 所以的最小值为． 18.解：Ⅰ，，，是等差数列，且，， 可得公差，可得，，，，，，，； Ⅱ设数列是项的“的对称数列”，，其中，是公比为的等比数列，，， 则，，解得，，可得，，，，，，，，，，， 可得数列的所有项和，当且仅当，取得最小值； Ⅲ数列前项的通项公式为，可得数列前项的和为 ， 由数列是项的“的对称数列”，可得数列后项的和为， 则数列的前项和． 19.解：Ⅰ由题 ... ...
