双曲线及其性质 解答题 专项练 2025年高考数学一轮复习备考

中小学教育资源及组卷应用平台 双曲线及其性质 解答题 专项练 2025年高考数学一轮复习备考 1．已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若动直线l与曲线C交于，两点（其中），点A关于x轴对称的点为A'，且直线BA'经过点． （ⅰ）求证：直线l过定点； （ⅱ）若，求直线l的方程． 2．已知双曲线的离心率，虚轴的一个端点与其左、右两焦点构成的三角形的面积为． (1)求的标准方程； (2)若直线与的左、右两支分别交于两点， （i）当直线不过的两焦点时，求证：与的周长相等； （ii）当时，若以线段为直径的圆过双曲线的右焦点，求的值． 3．已知双曲线：的左、右焦点分别为、． (1)若的长轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程： (2)若，双曲线左支上任意点T均满足，求a的最大值； (3)若双曲线的左支上存在点P、右支上存在点Q满足，求的离心率的取值范围． 4．已知点在双曲线的一条渐近线上，为双曲线的左、右焦点且. (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线恰有一个公共点，求直线的方程； (3)过点的直线与双曲线左右两支分别交于点，求证：. 5．已知圆：的圆心为，圆：的圆心为，一动圆与圆内切，与圆外切，动圆的圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程： (2)已知点，直线不过点并与曲线交于两点，且，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由， 6．已知双曲线经过点，其右焦点为，且直线是的一条渐近线. (1)求的标准方程； (2)设是上任意一点，直线.证明：与双曲线相切于点； (3)设直线与相切于点，且，证明：点在定直线上. 7．已知直线l：与双曲线C：相切于点Q． (1)试在集合中选择一个数作为k的值，使得相应的t的值存在，并求出相应的t的值； (2)设直线m过点且其法向量，证明：当时，在双曲线C的右支上不存在点N，使之到直线的距离为； (3)已知过点Q且与直线l垂直的直线分别交x、y轴于A、B两点，又P是线段中点，求点P的轨迹方程． 8．设圆与两圆中的一个内切，另一个外切. (1)求圆心的轨迹的方程； (2)已知直线与轨迹交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值. 9．已知双曲线的离心率为，且经过点．点M，N在y轴上，（O为坐标原点），直线AM，AN分别交双曲线C于P，Q两点． (1)求双曲线C的方程． (2)求点O到直线PQ的距离的最大值． 10．已知双曲线：，其渐近线方程为，点在上. (1)求双曲线的方程； (2)过点的两条直线AP，AQ分别与双曲线交于P，Q两点（不与点A重合），且两条直线的斜率之和为1，求证：直线PQ过定点. 11．已知为平面上一个动点，到定直线的距离与到定点距离的比等于，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由． 参考答案： 1．(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） （1）圆的圆心坐标为，半径． 动圆M与圆相切有两种情况，即内切或外切， 所以， 所以点M在以，为焦点的双曲线上，且该双曲线的实轴长为，， 所以， 所以曲线C的方程是． （2）（ⅰ）设直线l的方程为（显然l与x轴不平行）， 与联立，得， 由题意知，，，即， 由韦达定理得，． 因为点A与A'关于x轴对称，不妨设A，B分别在第一、二象限，如图所示． 易知， 即， 化为， 即，化为， 当m变化时，该式恒成立， 所以，故直线l过定点（-3，0）． （ⅱ）由（ⅰ）知，当时，，． 由， ， ， ， 化为，解得或（舍去）， 故， 此时直线l的方程为． 2．(1) (2)（i）证明见解析；（ii） （1）由题意知，解得， 所以的标准方程为. （2）（i）不妨令两点的位置如图，由双曲线的定义可知： ． 所以， 即． 所以 即与的周长相等． （ii）设， 由消去并整理，得． 因为 所以． ... ...