1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 教案（共3课时） 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

课 题： §1.4.1空间中点、直线和平面的向量表示 课型： 新授课 教学目标：1.掌握空间中点、直线和平面的向量表示； 2.理解平面法向量的概念并掌握平面法向量的求解 学科素养： 数学抽象、数学运算、直观想象 重 点：空间中点、直线和平面的向量表示 难 点： 平面法向量的求解 教学过程： 复习回顾：1.空间直角坐标系； 2.空间向量的坐标运算 新课讲授： 1.空间中点的向量表示 在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量. 2.空间直线的向量表示 如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得，即. 空间直线的向量表示式：如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ①，将代人①式，得 ②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式. 由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 3.空间平面的向量表示 平面可以由内两条相交直线确定. 如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知存在唯一的有序实数对，使得. 这样，点O与向量a，b不仅可以确定平面，还可以具体表示出内的任意一点. 空间平面的向量表示式：如图，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，使 ③. 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式. 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. 4.平面的法向量 如图，直线. 取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面的法向量. 给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 典例分析 课本P28例1 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB中点，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）求平面BCC1B1的法向量． （2）求平面MCA1的法向量． 设计意图：第（1）问是通过定义法求法向量，第（2）问是用待定系数法求法向量，加深学生对法向量的概念理解，熟练空间直角坐标系和空间向量的坐标表示． 课堂练习：课本P29练习 课堂小结：1.空间中点、直线和平面的向量表示； 2.平面的法向量及其求解. 作业： 课本P41习题1.4第1，2题+预习下一节 反思： 课 题： 1.4.1空间中直线、平面的平行(2) 课型： 新授课 教学目标： 1.理解当直线与直线、直线与平面、平面与平面平行时直线的方向向量间、以及与平面的法向量的关系 2.能用空间向量研究直线、平面的平行关系 学科素养： 数学抽象、逻辑推理、数学运算 重 点： 用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系 难 点：用向量方法证明空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系 教学过程： 复习回顾 1.直线的方向向量 2.平面的法向量 3.共线向量定理 4.课前练：P31练习3问题改为：求面ACD1的法向量 二、新课讲授 1.预习P29- P30（5min）,回答P29的思考题 2.①直线与直线平行(如图1.4-8):设,分别是直线,的方向向量,有 ②直线与平面平行(如图1.4-9):设是直线的方向向量,是平面的法向量, 则 ③平面与平面平行(如图1.4-10):设分别是平面的法向量,则 学生自主练习课本P31.3求证：EF∥平面ACD1,(注意写) 三、例题讲解 1.(课本P30例3)如图,在长方体中,AB=4,BC=3,CC1=2,线段B1C上是否存在点P,使得A1P∥平面ACD1 2.(课本P31.2)如图,在四面体ABCD中,E是BC的中点.直线AD上是否存在点F,使得AE∥CF 3.(课本P43.12)如图,在长方体中，点E,F,G分别在棱A1A,A1B1,A1D1上,A1E=A1F=A1G=1;点P,Q,R分别在棱CC1,CD,CB上,CP=CQ=CR=1.求证:平面EFG∥平面PQR. 4.( ... ...