2024-2025学年江西省南昌十九中高二（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知点与点关于轴对称，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 2.已知空间直角坐标系中有一点，点是平面内的直线上的动点，则，两点的最短距离是 ( ) A. B. C. D. 3.若圆：上存在两个点到直线：的距离为，则实数的取值范围是( ) A. B. C. 或 D. 或 4.设，为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系( ) A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 不能确定 5.已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线：与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于另一点，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 6.已知点，分别为双曲线：的两个顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 7.已知抛物线：上的点到原点的距离为，焦点为，准线与轴的交点为，过上一点作于，若，则( ) A. B. C. D. 8.函数被称为“对勾函数”，它可以由双曲线：旋转得到，已知直线和直线是函数的渐近线，则双曲线的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知直线：，则( ) A. 若，则直线的倾斜角为 B. 直线过定点 C. 若，则直线在轴和轴上的截距相等 D. 若直线不经过第二象限，则 10.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线例如：四叶草曲线：就是其中一种如图则下列结论正确的是( ) A. 曲线关于坐标原点对称 B. 曲线上的点到原点的最大距离为 C. 四叶草曲线所围的区域面积大于 D. 四叶草曲线恰好经过个整点横、纵坐标均为整数的点 11.在平面直角坐标系中，动点的轨迹为曲线，且动点到两个定点，的距离之积等于则下列结论正确的是( ) A. 曲线关于轴对称 B. 曲线的方程为 C. 面积的最大值 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若曲线与直线有两个公共点，则实数的取值范围是_____． 13.已知椭圆：，则过点且斜率为的直线被椭圆所截线段的长度为_____． 14.设抛物线的焦点为，若：与抛物线有四个不同的交点，记轴同侧的两个交点为，，则的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图所示，由半椭圆和两个半圆、组成曲线：，其中点、依次为的左、右顶点，点为的下顶点，点、依次为的左、右焦点点、分别为曲线、的圆心． 求的方程； 若点、分别在、上运动，点，求的最大值，并求出此时点、的坐标． 16.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，点，直线：，设圆的半径为，圆心在上． 若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程； 若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围． 17.本小题分 设，为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点关于原点的对称点为，四边形的面积为． 求椭圆的方程； 若过的直线交椭圆于，两点，求证：为定值． 18.本小题分 已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是的右支上一点，且，的面积为． Ⅰ求的方程； Ⅱ若的左、右顶点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，直线和的斜率分别即为和，求的最小值． 19.本小题分 已知抛物线：的焦点为，若的三个顶点都在抛物线上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”． 设“核心三角形”的一边所在直线的斜率为，求直线的方程； 已知是“核心三角形”，证明：三个顶点的横坐标都小于． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：依题意，、， 所以， 所以的方程为； ， 当、、三点共线，同时、、三点共线，有， 由，、，则此时， 所以，， 则，同理可得． 16.解：根据题意，圆心在直线：上，也在直线上， 解得，， ... ...
