第三章 圆锥曲线的方程 单元检测（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章圆锥曲线的方程单元检测-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册 一、单选题 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是上的一点，的内切圆圆心为，当时，，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（ ） A． B．或 C． D．以上都不对 3．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 4．已知双曲线过点，且与椭圆有相同的顶点，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．2 5．过抛物线：焦点的直线交于、两点，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，若是正三角形，则（ ） A． B． C． D．2 6．若椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知关于，的方程表示的曲线是，则曲线可能是（ ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 8．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为和，点为椭圆上的任意点，下列说法正确的有（ ） A． B．的最大值为25 C．的最小值为9 D．若，则的面积为 三、填空题 9．已知椭圆.过点作圆的切线交椭圆于两点.将表示为的函数，则的最大值是 . 10．请写出一个焦点在轴，并与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程： . 11．过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为 . 12．已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是 ． 四、解答题 13．设椭圆的离心率为，短轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)过点，且斜率为的直线与椭圆相交于两点. ①若直线与轴相交于点，且，求的值； ②已知椭圆的上 下顶点分别为，是否存在实数，使直线平行于直线？ 14．如图，是双曲线上的两点，是双曲线的右焦点.是以为顶点的等腰直角三角形，延长交双曲线于点.若两点关于原点对称，求双曲线的离心率. 15．已知动点与点的距离比其到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 16．已知双曲线的左、右焦点为、，虚轴长为，离心率为，过的左焦点作直线交的左支于A、B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)若，求的余弦值； (3)若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A C B B B ABD AB 1．C 【分析】根据给定条件，结合椭圆的定义及圆的切线长定理可得，再借助两点间距离公式列式求解即得. 【详解】依题意，，设椭圆的半焦距为，点， 令的内切圆切的切点分别为， ， 联立解得，则，消去得：， 所以椭圆的离心率. 故选：C 2．A 【分析】根据给定条件设出椭圆方程，将给定点的坐标代入，列出方程组求解即得. 【详解】设椭圆方程为：，因椭圆过点和点， 于是得 ，解得， 所以所求椭圆方程为. 故选：A 3．C 【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答. 【详解】依题意，直线都过点，如图，有，， 设，则，显然有，， ， 因此，，在，， 即，解得，即，令双曲线半焦距为c， 在中，，即，解得， 所以E的离心率为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，进而转化为的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围）. 4．B 【分析】根据条件先确定出双曲线的顶点坐标，然后根据所过点求解出的值，由此可求的值，则离心率可求. 【详解】因为双曲线的焦点在轴上 ... ...