专题2 勾股定理 题型归类 举一反三 题型一 勾股定理的计算 例1 在直角三角形中,如果有一个角是 ,那么这个直角三角形的三边之比是（ ） A． B． C． D． 变式跟进 1．如图,在四边形中, , ,,,则的长为（ ） A．4 B．5 C． D． 题型二 勾股定理的证明 例2 [2024长沙模拟]【回顾旧知】在学习“乘法公式”时,我们分别从两个不同的角度计算如图①所示的正方形的面积,从而得到公式:. 【类比探究】 （1） 用图②中四个完全一样的直角三角形可以拼成图③的大正方形,请根据图③,利用图形的面积关系,推导,,之间满足的关系式,写出推理过程. 【拓展应用】 （2） 利用图③中探究的关系式解答下列问题: ① 若图③中大正方形的面积是25,且,则小正方形的面积为____; ② 连接图③中的四条线段得到图④的新图案,若,,则图④中阴影部分的周长为__; ③ 利用图②中八个完全一样的直角三角形可以拼成图⑤的大正方形,记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为,,,则,,满足的关系式是_____. 变式跟进 2．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理,其证明是论证几何的发端.下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ） A． B． C． D． 题型三 勾股定理的逆定理 例3 [2023 岳阳模拟]某大型机械厂因工作需要,要焊接一个如图所示的钢架,已知,,,且于点. （1） 求焊接一个这样的钢架大约需要多长的钢材？（结果精确到.参考数据:） （2） 求证:是直角三角形. 变式跟进 3．小新将铁丝剪成九段,分成三组:,,;,,;,,.分别以每组铁丝围成三角形,能构成直角三角形的是（ ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 4．[2022长沙模拟]如图,在中,,是边上的点,,,求的长. 5．如图,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,小正方形的顶点称为格点.已知,,都是格点. ② （1） 小明发现图②中是直角,请在图①中补全他的思路; 先利用勾股定理求出的三条边长,可得,_____,_____.从而可得,,之间的数量关系是_____,根据_____,可得是直角. （2） 请用一种不同于小明的方法说明是直角. 题型四 勾股定理的实际应用 例4 [2022 西安模拟]台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候,有极强的破坏力.如图,有一台风中心沿东西方向由点向点移动,已知点为一海港,且点与直线上的两点,的距离分别为,,又,以台风中心为圆心,周围以内为受影响区域. （1） 求的度数. （2） 海港受台风影响吗？为什么？ （3） 若台风的速度为,当台风运动到点处时,海港刚好开始受到影响,当台风运动到点时,海港刚好即将不受影响,即,则台风影响该海港持续的时间有多长？ 变式跟进 6．如图,某港口位于东西方向的海岸线上.“综合执法1号”“综合执法2号”轮船同时离开港口,各自沿一定方向执法巡逻.“综合执法1号”每小时航行,“综合执法2号”每小时航行,它们离开港口后分别位于点,处,且相距. （1） 求,的长度; （2） 如果知道“综合执法1号”沿北偏东 方向航行,能知道“综合执法2号”沿哪个方向航行吗？ 7．[2024巩义模拟]如图,四边形为某工厂的平面图,经测量,,且 . （1） 求的度数. （2） 若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计）,工作人员想要在点处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况,已知摄像头能监控的最远距离为,求被监控到的道路长度为多少米？ 题型五 图形的折叠与勾股定理 例5 如图,为矩形的对角线,将边沿折叠,使点落在上的点处,将边沿折叠,使点落在上的点处. （1） 求证:四边形是平行四边形; （2） 若,,求四边形的面积及与之间的距离. 变式跟进 8．如图,在中,,, ,将折叠,使点与的中点重合,折痕为,则线段的长为（ ） A． B． C．4 D．5 9．如图,将矩形纸片折叠,使点与点重合,折痕分别与,交于点,. （1） 求证:; （2） 若,,求的面积. 题型六 空间线路中两点间的最短距离 例6 如图 ... ...
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