第27章 圆 27.1 圆的认识 3.圆周角 第2课时 圆周角定理的推论 一、教学目标 1.能够理解和掌握圆周角定理的推论； 2.了解圆周角和直径的关系以及圆内接四边形的概念. 二、教学重难点 重点：能运用圆周角定理的推论解决简单的证明或计算. 难点：理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. 三、教学过程 【新课导入】 [情境导入]如图所示，在这个圆形人工湖边上造4个休息亭(即A，B，C，D)，用仪器测得∠A＝75°，∠B＝65°，能求出另两个角∠C和∠D的度数吗？需要哪些数据可以求该圆形人工湖的直径？ 【新知探究】 （一）圆周角定理的推论1 [提出问题]上一课时我们证明了半圆或直径所对的圆周角都是90°，那么反过来,如图,圆周角∠BAC=90°,弦BC是直径吗 为什么 [分组讨论]小组之间交流讨论.得出结论:弦BC是直径.证明如下：连接OB,OC,∵圆周角∠BAC=90°,∴圆心角∠BOC=180°,即BOC是一条线段,∴BC是☉O的一条直径. 注意：这里要分别连接OB,OC,而不是直接连接BC. [归纳总结]圆周角定理的推论1:90°的圆周角所对的弦是直径. 【例1】从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是( B ) 【例2】如图所示，已知经过原点的⊙P与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是弧AB上一点，则∠ACB的度数是（ B ） A.80° B.90° C.100° D.无法确定 【解析】连接AB∵∠AOB=90°，∴AB是⊙P的直径.∴∠ACB=90°. 总结： 1.有直径，通常作直径所对的圆周角，从而得出两直线互相垂直，简记为“见直径作直角 ”. 2.有90°的圆周角，通常作直径，简记为“有直角作直径”. （二）圆周角定理的推论2 1.圆内接多边形 定义：如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形. 2.圆周角定理的推论2 [提出问题] 问题1：如图,A,B,C,D是☉O上的四点,AC为☉O的直径,请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系 [分组讨论]小组之间交流讨论.得出结论:∠BAD+∠BCD=180°.理由如下:∵AC为☉O的直径,∴∠ADC=∠ABC=90°,∴∠BAD+∠BCD=180°. 问题2：在☉O上移动点C，如图,∠BAD与∠BCD之间的关系还成立吗 [分组讨论]小组之间交流讨论.得出结论:∠BAD与∠BCD之间的关系还成立.理由如下:∵优弧BCD和劣弧BAD的度数和为360°,那么它们所对的圆心角的和也是360°,∴它们所对的圆周角∠BAD和∠BCD的和是180°. [归纳总结] 圆周角定理的推论2：圆内接四边形的对角互补. 【例3】四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C= 70° ，∠D= 100° . 【例4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E是CB的延长线上一点，∠EBA＝125°，则∠D＝( C ) A．65° B．120° C．125° D．130° 【例5】在圆内接四边形ABCD中， ∠A，∠B，∠C的度数之比是2︰3︰4.求这个四边形各角的度数. 解：设∠A，∠B，∠C的度数分别为2x，3x，4x， ∵四边形ABCD内接于圆， ∴ ∠A+ ∠C=∠B+∠D=180°， ∵2x+4x=180，∴ x=30. ∴∠A=60°，∠B=90°， ∠C =120°，∠D=180°-90°=90°. 【课堂小结】 一、圆周角定理的推论1 90°的圆周角所对的弦是直径. 二、圆内接多边形的定义 如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形. 三、圆周角定理的推论2 圆内接四边形的对角互补. 【课堂训练】 1.（2023西藏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE=65°，则∠BOD的度数是（ C ） A．65° B．115° C．130° D．140° 2.（2023泰安）如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC=115°，则∠BAC的度数是（ A ） A．25° B．30° C．35° D．40° 3.（2022日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测 ... ...
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