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课件网) 第二十四章 圆 活动2 探究四点共圆的条件 （教材 P119） 第二十四章 数学活动 一、知识回顾 问题1 过平面内任意一点能确定一个圆吗？两个点呢？ A 答：过一个点不能确定一个圆 过两个点不能确定一个圆 A B 一、知识回顾 A C A B C A B C B 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 答：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆 问题2 过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆吗？ 问题3 过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ A B C D A B C D 答：过任意一个四边形的四个顶点不一定能作一个圆 有的四边形能作一个圆，有的四边形不能作一个圆. A B C D 二、知识探究 定义：如果四边形ABCD的四个顶点都在圆O上，则称A、B、C、D四点共圆 问题4 猜想：一个四边形满足什么条件可以作一个圆？ 追问 如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，猜想其相对的两个内角之间有什么关系？ A B C D A B C D A B C D 二、知识探究 猜想：对角互补的四边形，四个顶点共圆 A B C D 如图，在四边形ABCD中，若∠B+∠D =180 ，证：A、B、C、D四点共圆 A B C D E 过A、B、C点作圆,延长AD与圆交于点E，连接CE A B C D 故假设不成立. 猜想：“对角互补的四边形，四个顶点共圆”，你能证明这个猜想吗 反证法：假设A、B、C、D四点不共圆 则至少有一个点不在圆上 假设D点不在圆上 ①若D点在圆内 ∴∠B+∠E=180° ∵∠ADC >∠E ∴∠B+∠ADC >180° 这与已知条件∠B+∠ADC=180 矛盾， A B C D 如图，在四边形ABCD中，若∠B+∠D =180 ，证：A、B、C、D四点共圆 A B C D E 过A、B、C点作圆,延长AD与圆交于点E，连接CE A B C D E 故假设不成立，原结论正确，即A、B、C、D四点共圆 猜想：“对角互补的四边形，四个顶点共圆”，你能证明这个猜想吗 反证法：假设A、B、C、D四点不共圆 则至少有一个点不在圆上 假设D点不在圆上 ②若D点在圆外 ∴∠B+∠AEC=180° ∵∠D <∠AEC ∴∠B+∠D <180° 这与已知条件∠B+∠D=180 矛盾， A B C D 如图，在四边形ABCD中，若∠B+∠D =180 ，证：A、B、C、D四点共圆 A B C D E A B C D E 猜想：“对角互补的四边形，四个顶点共圆”，你能证明这个猜想吗 判定1：对角互补的四边形，四个顶点共圆. 符号语言： (如图3) ∵∠B+∠D =180° ∴ A、B、C、D 四点共圆 问题5 如图，E是CB延长线上的一点，且∠ABE=∠D，则A、B、C、D 有怎样的关系？ 判定2：外角等于内对角的四边形，四个顶点共圆. A B C D 二、知识探究 符号语言： ∵∠ABE=∠D ∴ A、B、C、D 四点共圆 E 解：∵∠ABE+∠ABC=180° , ∠ABE=∠D ∴ ∠ABC+∠D=180° ∴ A、B、C、D 四点共圆 A B C D 问题6 如图，如果A和D在BC所在直线的同侧，且∠A=∠D，则A、B、C、D 有怎样的关系？为什么？ 二、知识探究 判定3：同弦同侧所对的两个角相等，则四个顶点共圆. 符号语言： （如图3） ∵∠A=∠D ∴ A、B、C、D 四点共圆 A B C D A B C D E E 反证法 不成立 不成立 问题7 如图，△ABC与△BDC 都是直角三角形，O为BC的中点，证明：A、B、C、D 四点共圆 二、知识探究 A B C D ∴ A、B、C、D 四点共圆 O 证明：∵△ABC与△BDC 都是直角三角形， O为BC的中点 ∴ OA=OB=OC=OD ∴ OA= BC , OD= BC 判定4：若四个点到一个定点的距离相等，则四个点共圆. 符号语言： ∵ OA=OB=OC=OD ∴ A、B、C、D 四点共圆 例1 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABD＝70°， 求∠CAD的度数 三、知识应用 A B C D 解：∵∠ABC＝∠ADC＝90° ∴ ∠ABC+∠ADC＝180° ∴ A、B、C、D 四点共圆 ∴∠ABD＝∠ACD＝70° ∴∠CAD＝90°－∠ACD＝90°－70°=20° ？ 70° 70° 三、知识应用 例2 如图，OC为∠DOB的平分线，且∠CAD=∠CBO , ... ...
