奥赛培训讲义《曲线运动 万有引力》

第三部分 曲线运动 万有引力 第一讲 基本知识介绍 一、曲线运动 1、概念、性质 2、参量特征 二、曲线运动的研究方法———运动的分解与合成 1、法则与对象 2、两种分解的思路 a、固定坐标分解（适用于匀变速曲线运动） 建立坐标的一般模式———沿加速度方向和垂直加速度方向建直角坐标；提高思想———根据解题需要建直角坐标或非直角坐标。 b、自然坐标分解（适用于变加速曲线运动） 基本常识：在考查点沿轨迹建立切向τ、法向n坐标，所有运动学矢量均沿这两个方向分解。 动力学方程，其中改变速度的大小（速率），改变速度的方向。且= m，其中ρ表示轨迹在考查点的曲率半径。定量解题一般只涉及法向动力学方程。 三、两种典型的曲线运动 1、抛体运动（类抛体运动） 关于抛体运动的分析，和新课教材“平跑运动”的分析基本相同。在坐标的选择方面，有灵活处理的余地。 2、圆周运动 匀速圆周运动的处理：运动学参量v、ω、n、a、f、T之间的关系，向心力的寻求于合成；临界问题的理解。 变速圆周运动：使用自然坐标分析法，一般只考查法向方程。 四、万有引力定律 1、定律内容 2、条件 a、基本条件 b、拓展条件：球体（密度呈球对称分布）外部空间的拓展；球体（密度呈球对称分布）内部空间的拓展———�剥皮法则” c、不规则物体间的万有引力计算———分割与矢量叠加 五、开普勒三定律 天体运动的本来模式与近似模式的差距，近似处理的依据。 六、宇宙速度、天体运动 1、第一宇宙速度的常规求法 2、从能量角度求第二、第三宇宙速度 万有引力势能EP = －G 3、解天体运动的本来模式时，应了解椭圆的数学常识 第二讲 重要模型与专题 一、小船渡河 物理情形：在宽度为d的河中，水流速度v2恒定。岸边有一艘小船，保持相对河水恒定的速率v1渡河，但船头的方向可以选择。试求小船渡河的最短时间和最小位移。 模型分析：小船渡河的实际运动（相对河岸的运动）由船相对水流速度v1和水相对河岸的速度v2合成。可以设船头与河岸上游夹角为θ（即v1的方向），速度矢量合成如图1 （学生活动）用余弦定理可求v合的大小 v合= （学生活动）用正弦定理可求v合的方向。令v合与河岸下游夹角为α，则 α= arcsin 1、求渡河的时间与最短时间 由于合运动合分运动具有等时性，故渡河时间既可以根据合运动求，也可以根据分运动去求。针对这一思想，有以下两种解法 解法一： t = 其中v合可用正弦定理表达，故有 t = = 解法二： t = = = 此外，结合静力学正交分解的思想，我们也可以建立沿河岸合垂直河岸的坐标x、y，然后先将v1分解（v2无需分解），再合成，如图2所示。而且不难看出，合运动在x、y方向的分量vx和vy与v1在x、y方向的分量v1x、v1y以及v2具有以下关系 vy = v1y vx = v2 - v1x 由于合运动沿y方向的分量Sy ≡ d ，故有 解法三： t = = = t (θ)函数既已得出，我们不难得出结论 当θ= 90°时，渡河时间的最小值 tmin = （从“解法三”我们最容易理解t为什么与v2无关，故tmin也与v2无关。这个结论是意味深长的。） 2、求渡河的位移和最小位移 在上面的讨论中，小船的位移事实上已经得出，即 S合 = = = 但S合（θ）函数比较复杂，寻求S合的极小值并非易事。因此，我们可以从其它方面作一些努力。 将S合沿x、y方向分解成Sx和Sy ，因为Sy ≡ d ，要S合极小，只要Sx极小就行了。而Sx（θ）函数可以这样求——— 解法一： Sx = vxt =（v2 - v1x） =（v2 – v1cosθ） 为求极值，令cosθ= p ，则sinθ= ，再将上式两边平方、整理，得到 这是一个关于p的一元二次方程，要p有解，须满足Δ≥0 ，即 ≥ 整理得 ≥ 所以，Sxmin= ，代入Sx（θ）函数可知，此时cosθ= 最后，Smin= = d 此过程仍然比较繁复，且数学味太浓。结论得出后，我们还不难发现一个问题 ... ...