2024-2025湖北省“新八校”高二年级12月联考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知空间向量，，若与垂直，则等于( ) A. B. C. 3 D. 2.椭圆的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为 A. B. C. 2 D. 4 3.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是( ) A. 至少有1名女生与全是女生 B. 至少有1名女生与全是男生 C. 恰有1名女生与恰有2名女生 D. 至少有1名女生与至多有1名男生 4.已知一组数据，，，的平均数和方差分别为80，21，若向这组数据中再添加一个数据80，数据，，，80的平均数和方差分别为，，则( ) A. B. C. D. 5.在直三棱柱中，，，E为的中点，则与AE所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 6.过点的直线l与椭圆相交于A，B两点，且M恰为线段AB的中点，则直线l的斜率为( ) A. B. C. D. 7.已知圆，圆，M，N分别是圆，上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值为( ) A. B. C. D. 8.在空间直角坐标系中，已知向量，点，点若直线l经过点，且以为方向向量，P是直线l上的任意一点，则直线l的方程为若平面经过点，且以为法向量，P是平面内的任意一点，则平面的方程为利用以上信息解决下面的问题：已知平面的方程为，直线l是平面与平面的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为，乙每次命中概率为，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则( ) A. 两人都命中的概率为 B. 恰好有一人命中的概率为 C. 两人都没有命中的概率为 D. 至少有一人命中的概率为 10.设动直线与圆交于A，B两点，则下列说法正确的有( ) A. 直线l过定点 B. 当最大时， C. 当最小时， D. 当最小时，其余弦值为 11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，半正多面体的棱长为，棱数为24，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有( ) A. 平面GHMN B. 若E是棱MN的中点，则HE与平面AFG平行 C. 若四边形ABCD的边界及其内部有一点P，，则点P的轨迹长度为 D. 若E为线段MN上的动点，则HE与平面HGF所成角的正弦值的范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在空间直角坐标系中，已知点，，，则点A到直线BC的距离为 . 13.若曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是 . 14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为Q，延长与双曲线的右支相交于点P，若，则双曲线C的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知圆C的圆心在y轴上，且经过点， 求圆C的标准方程; 过点的直线l与圆C交于A、B两点，若，求直线l的方程. 16.本小题15分 求满足下列条件的双曲线的标准方程： 过点，且与双曲线的离心率相等; 两顶点间的距离为8，渐近线方程为 17.本小题15分 半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为公里，为全程马拉松距离的一半世纪50年代，一些赛事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升.某调研机构为了了解人们对“半程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参与知识竞赛者按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方 ... ...
