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课件网) 第1讲 Unit 1—Unit 3 (含Starter Units) 七年级上册 2025年中考数学二轮专题复习 题型五 几何探究题 [2024烟台中考改编]在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC, D为直线BC上任意一点,连接AD,将线段AD绕点D按顺时针方向旋转[1] 90°得线段ED,连接BE. 【尝试发现】 (1)如图(1),当点D在线段BC上时,线段BE与CD的数量关系为 . 1 题型五 几何探究题 图(1) BE=CD [2024烟台中考改编]在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为直线BC上任意一点,连接AD,将线段AD绕点D按顺时针方向旋转[2]90°得线段ED,连接BE. 【类比探究】 (2)当点D在线段BC的延长线上时,先在图(2)中补全图形[2],再探究线段BE与CD的数量关系并证明. (3)若AC=BC=1,CD=2,求sin∠ECD的值. 1 题型五 几何探究题 图(2) 【大招点拨】识别题干信息:【发现】+【探究】+【拓展】 ①找特征:根据[1]和[2],判断该题的特征是“旋转+操作”. ②找模型:旋转找全等模型,解答(1)和(2)的关键是作辅助线:过点E作EM⊥CB于点M,构造“一线三垂直”全等模型 ③找结构:本题中的“不变结构”是等腰直角三角形ABC和线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°. ④类比解决:结合(1)和(2)的解题思路,在解答(3)时,利用到的数学思想是分类讨论思想. 【自主解答】 1 题型五 几何探究题 (2)当点D在线段BC的延长线上时,先在图(2)中补全图形[2],再探究线段BE与CD的数量关系并证明. 1 题型五 几何探究题 图(1) (2)补全图形如图(1).BE=CD. 证明:如图,过点E作EM⊥CB于点M. 由旋转,得AD=DE,∠ADE=90°,∴∠ADC+∠EDM=90°. ∵∠ACD=90°,∴∠ADC+∠CAD=90°,∴∠CAD=∠EDM. 又∵∠ACD=∠EMD=90°,∴△ACD≌△DME, ∴CD=EM,AC=DM. 又∵AC=BC,∴DM=BC,∴BM=DC,∴BM=EM, ∴在Rt△BME中,BE==EM=CD. [2024烟台中考改编]在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为直线BC上任意一点,连接AD,将线段AD绕点D按顺时针方向旋转[1]90°得线段ED,连接BE. 【联系拓展】 (3)若AC=BC=1,CD=2,求sin∠ECD的值. 1 题型五 几何探究题 (3)过点E作EM⊥CB,垂足为点M.分两种情况讨论. ①当点D在CB的延长线上时,如图(2). 易证△ACD≌△DME,∴EM=CD=2,DM=AC=1, ∴CM=CD+DM=3,∴EC==,∴sin∠ECD===. 图(2) (3)若AC=BC=1,CD=2,求sin∠ECD的值. 1 题型五 几何探究题 图(3) ②当点D在BC的延长线上时,如图(3). 易证△ACD≌△DME, ∴EM=CD=2,DM=AC=1, ∴CM=CD-DM=1,∴EC==, ∴sin∠ECD===. ∴sin∠ECD的值为或. [2024遵义二模改编]如图(1),在正方形ABCD中,点E是AB边上一动点,将正方形沿DE折叠,点A落在正方形内部的点F处,连接AF并延长,交BC于点G. (1)判断AE与BG的数量关系为 . 2 图(1) 图(2) AE=BG (2)【应用】如图(1),延长DF交BC于点H. ①证明:∠HFG=∠FGH; 2 图(1) (2)①证明:∵AD∥BC, ∴∠DAF=∠AGH. 由折叠可知,DA=DF, ∴∠DAF=∠AFD, ∴∠AFD=∠AGH. ∵∠AFD=∠HFG, ∴∠AGH=∠HFG. (2)【应用】如图(1),延长DF交BC于点H. ②若HB=3a,HF=5a,AE=8,求BE的长度. 2 图(1) ②由①知,∠FGH=∠HFG,则HG=FH=5a, ∵BH=3a,∴BG=BH+HF=8a. 由折叠可得,AF⊥DE,∴∠BAG+∠AED=90°. ∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=∠ABG=90°, ∴∠AED+∠ADE=90°, ∴∠BAG=∠ADE, ∴△ADE≌△BAG, (2)【应用】如图(1),延长DF交BC于点H. ②若HB=3a,HF=5a,AE=8,求BE的长度. 2 图(1) ∴AE=BG=8a=8,∴a=1, ∴BH=3,HF=5,EF=AE=8. 连接EH,△EBH与△EFH都是直角三角形, ∴BE2+BH2=EF2+FH2, 即BE2+32=82+52, ∴BE=4(负值已舍去). (3)【拓展】如图(2),将正方形改成矩形,其中AD=2CD,将矩形沿DE折叠,使点A落在点F处(矩形内部),连接AF并延长,交BC于 ... ...
