2024-2025学年重庆市鲁能巴蜀中学高二（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.直线：与：互相垂直，则实数( ) A. B. C. D. 2.已知空间中，点，，，则平面的一个法向量为( ) A. B. C. D. 3.若直线与圆交于，两点，则( ) A. B. C. D. 4.抛物线上一点到的距离的最小值为( ) A. B. C. D. 5.已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为( ) A. B. C. D. 6.如图，在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 7.如图，曲线由三部分构成：半圆：，半圆：，半椭圆：，直线：交于、，动点在曲线上，则面积的最大值为( ) A. B. C. D. 8.如图，已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右支分别交于、，的内切圆半径为，的内切圆半径为，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图，已知正方体的棱长为，则下列说法正确的是( ) A. B. 平面 C. 直线与平面所成的角为 D. 点与平面的距离为 10.已知实数，满足方程，则下列说法正确的是( ) A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 11.已知双曲线：的左，右焦点分别为、，直线与双曲线右支相交于、其中在一象限，若，则列说法正确的是( ) A. B. C. D. 的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知直线经过点，且是的一个方向向量，则点到的距离为_____． 13.已知抛物线：，直线与抛物线相交于、，且的中点为，则 _____． 14.平面点集，所构成区域的面积为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知圆：，圆：，直线：． 若圆与圆外切，求实数的值； 若与圆、都相切，求实数的值． 16.本小题分 已知椭圆经过点，． 求椭圆的方程； 设椭圆的左右焦点分别为、，过点且斜率为的直线与椭圆交于、两点，若为锐角，求的取值范围． 17.本小题分 如图，在四棱锥中，，，，平面平面，为中点． 求证：面； 点在棱上，设，若二面角余弦值为，求． 18.本小题分 已知双曲线：的左、右焦点为、，直线：与双曲线相交于、，且双曲线上任意一点到的距离与到：的距离的比为． 求双曲线的标准方程； 斜率存在且不为的直线与双曲线相切． 若与相交于点，与相交于点证明：为定值； 若与直线和分别相交于、，证明：、、、四点共圆． 19.本小题分 已知点在抛物线：上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于轴对称，再过作斜率为的直线交与另一个点，设与关于轴对称，以此类推一直做下去，设，． 求抛物线的方程； 求证：数列是等差数列，并求，； 求的面积． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：圆：，即， 圆：， 两圆的圆心和半径分别为，，，， 则，解得或． 圆心到直线的距离，解得舍负， 圆心到直线的距离，解得或． 16.解：设椭圆， 由椭圆经过点，． 可得， 所以； 由知，， 设、， 设：，与椭圆方程联立，消去， 可得， 即有恒成立， 则，易知， 因为为锐角，， ， 即， 故的取值范围为． 17.证明：由题意：，， ，同理， 又，， ， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，平面， ， 又且面，面，， 面； 解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 由，有， 令是平面的一个法向量， 则，即， 令，有， 取面的一个法向量， 则，解得． 18.解：由直线：与双曲线相交于、，且． 可知在双曲线上，所以， 又双曲线上任意一点到的距离与到：的距离的比为， 设，即有， 所以， 又，解得，即． 设：，代入双曲线， 可得， 所以； ... ...
